LIS 问题

LIS 问题

LIS，即最长上升子序列。

1. 朴素的求法

使用动态规划，\(dp_i\) 代表以第 \(i\) 位结尾的最长上升子序列长度。得动态转移方程：

\[dp_i = \max_{j < i \text{ 且 } a_i > a_j} dp_j + 1 \]

Code1

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 100005
int a[MAXN],f[MAXN];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
	int ans=-1;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		f[i]=1;
		for(int j=0;j<i;j++) if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
		ans=max(f[i],ans);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

2. 优化处理

维护一个数组 \(vec\)，\(vec_i\) 表示长度为 \(i+1\) 的 LIS 的最小的终点。

长度相同的 LIS 只存终点的最小值。

随着 LIS 长度的增加，其结尾的值（最小的那个）一定是单调递增的。比如：长度为 \(4\) 的 LIS 的终点值 \(<\) 长度为 \(5\) 的 LIS 的终点值。

该策略是让小元素尽可能更新在前面，替换掉前面的大元素，这是因为前面的数越小，LIS 的长度才可能越长。

举例 \(a = [1,5,2,3,4,6]\)。

更新 \(vec\) 过程如下:

1. 第一个 \(1\) 来，\(vec_0 = 1\) 此时 \(vec=[1]\)。
2. 第二个 \(5\) 来，因为 \(5 > 1\)，\(vec\) 拓展，\(vec_1 = 5\)，此时 \(vec = [1,5]\)。
3. 第三个 \(2\) 来，而 \(2 < 5\)，替换之，\(vec_1 = 2\)，此时 \(vec = [1,2]\)。
4. 第四个 \(3\) 来，因为 \(3 > 2\)，\(vec\) 拓展，\(vec_2 = 3\)，此时 \(vec = [1,2,3]\)。
5. 第五个 \(4\) 来，因为 \(4 > 3\)，\(vec\) 拓展，\(vec_3 = 4\)，此时 \(vec = [1,2,3,4]\)。
6. 第六个 \(6\) 来，因为 \(6 > 4\)，\(vec\) 拓展，\(vec_4 = 6\)，此时 \(vec = [1,2,3,4,6]\)。

最后返回 \(vec\) 数组的长度 \(LIS = 5\)

Code2

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define inf 2147483647
int n,a[MAXN],tot;
vector<int> vec;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int tem=lower_bound(vec.begin(),vec.end(),a[i])-vec.begin();
        if(tem==vec.size())
            vec.push_back(a[i]);
        else vec[tem]=a[i];
    }
    cout<<vec.size();
    return 0;
}

类似的，其他几种 LIS 求法如下：

• 最长下降子序列：进行 reverse 操作。
• 最长不增子序列：lower_bound 变为 upper_bound。
• 最长不降子序列：进行 reverse 操作并将 lower_bound 变为 upper_bound。

练习

• B3637

原文链接：

https://blog.csdn.net/shizheng_Li/article/details/105572886