背包问题

背包问题

背包，即询问一个背包装最大价值的物品总价值。

01 背包

例题：P1048 采药

想到使用 DP。

\[f_{i,j} = \left\{\begin{matrix} \max f_{i-1,j-c_i} , f_{i-1,j} & j \ge c_i\\ f_{i-1,j} & j < c_i \end{matrix}\right. \]

（公式中，\(f_{i,j}\) 表示使用前 \(i\) 个物品，重量小于 \(j\) 的价值最高量；\(c_i\) 指本物品的重量，\(w_i\) 指本物品的价值）

Code1

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define MAXM 10005
int w[MAXN], c[MAXN];
int f[MAXN][MAXM];
int main()
{
	int v,n;
	cin>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=v;j++)
		{
			if(j>=c[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j-c[i]]+w[i],f[i-1][j]);
			else f[i][j]=f[i-1][j];
		}
	}
	cout<<f[n][v];
	return 0;
}

空间复杂度：\(O(nm)\)

那有的题目就很难受，要求在线性空间内结束战斗，就需要通过滚动数组来实现。

Code2

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define MAXM 10005
int w[MAXN], c[MAXN];
int f[2][MAXM];
int main()
{
	int v,n;
	cin>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
	bool flag=true;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=v;j++)
		{
			if(j>=c[i]) f[flag][j]=max(f[1-flag][j-c[i]]+w[i],f[1-flag][j]);
			else f[flag][j]=f[1-flag][j];
		}
		flag=1-flag;
	}
	cout<<f[1-flag][v];
	return 0;
}

空间复杂度：\(O(2m)\)

当然，也可以使用一维数组。

Code3

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define MAXM 10005
int w[MAXN], c[MAXN];
int f[MAXM];
int main()
{
	int v,n;
	cin>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=v;j>=c[i];j--)
			f[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i])
	cout<<f[n][v];
	return 0;
}

多重背包

多重背包的概念就是将 01 背包的物品数量变为有限的，而并非只有放和不放两种。

想到可以多次进行 01 背包即可。

Code1

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define MAXM 10005
int dp[MAXN][MAXM];
int w[MAXN],c[MAXN],x[MAXN];
int main()
{
	int n,v;
	cin>>n>>v;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>c[i]>>x[i];
		for(int i=1;i<=n;i++) 
			for(int j=0;j<=v;j++) 
				for(int k=0;k<=x[i];k++) //第三层！无法优化
					if(j>=c[i]*k) 
						dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
	cout<<dp[n][v];
	return 0;
}

时间复杂度：\(O(v \sum x_i)\)

Code2

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define MAXM 10005
int w[MAXN], c[MAXN], m[MAXN];
int f[MAXM];
int main()
{
	int n,v;
	cin>>n>>v;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=v;j>=0;j--)
			for(int k=0;k<=m[i];k++)
				if(j>=c[i]*k)
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]*k]+w[i]*k);
	cout<<f[v];
	return 0;
}

多重背包二进制优化。

Code3

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define MAXM 10005
int dp[MAXM];
int w[MAXN],c[MAXN];
int main()
{
	int n,v;
	cin>>n>>v;
	int cnt=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int a,b,s;
		cin>>a>>b>>s;
		for(int k=1;k<=s;k<<=1)
		{
			w[cnt]=k*a;
			c[cnt]=k*b;
			s-=k;
			cnt++;
		}
		if(s!=0)
		{
			w[cnt]=s*a;
			c[cnt]=s*b;
			cnt++;
		}
	}
	for(int i=0;i<cnt;i++)
		for(int j=v;j>=c[i];j--)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
	cout<<dp[v];
	return 0;
}

时间复杂度：\(O(v \sum \log x_i)\)！

完全背包

完全背包的概念就是将 01 背包的物品数量变为无限的，而并非只有放和不放两种。

想到肯定不可以多次进行 01 背包即可。

Code1

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define MAXM 10005
int dp[MAXN][MAXM];
int w[MAXN],c[MAXN];
int main()
{
	int n,v;
	cin>>n>>v;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>c[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=v;j++)
			if(j>=c[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-c[i]]+w[i]);
	cout<<dp[n][v];
	return 0;
}

Code2

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define MAXM 10005
int w[MAXN], c[MAXN];
int f[MAXM];
int main()
{
	int n,v;
	cin>>n>>v;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=c[i];j<=v;j++) //这里不一样！！！
			f[j]=max(dp[j],dp[j-k*c[i]]+w[i]);
	cout<<f[n][v];
	return 0;
}