累加累乘

一道大水题
多重 \(Σ\) 的一些性质：

1. 交换律：\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ma_{ij}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^na_{ij}\)

2. \((\sum_{i=1}^nf(i))^2=(\sum_{i=1}^nf(i))(\sum_{j=1}^nf(j))=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nf(i)f(j)\)

3. \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij=\sum_{i=1}^ni\sum_{j=1}^nj=\sum_{i=1}^ni\frac{n(n+1)}{2}=(\frac{n(n+1)}{2})^2\)

4. \(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^nij=\prod_{i=1}^ni^n\prod_{j=1}^nj=\prod_{i=1}^ni^n\times(n!)=(n!)^n\times(\prod_{i=1}^ni)^n=(n!)^n\times(n!)^n=(n!)^{2n}\)

5. \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n(a_i+a_j)^2=(a_1+a_2+..+a_n)^2+(n-2)(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)\)
   推导：
   根据完全图的性质，每个 \(a_i\) 应该出现了 \(n-1\) 次
   对于 \(2a_ia_j\) 可以看成两条边 \((i,j,a_ia_j),(j,i,a_ia_j)\)
   因此可以得出

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n(a_i+a_j)^2\\ =(n-1)\sum_{i=1}^na_i^2 + \sum_{i=1}^na_i*(a_1+a_2+a_3+...+a_{i-1}+a_{i+1}+a_{i+2}...+a_n) \]

令 \(s=\sum_{i=1}^na_i\)

\[(n-1)\sum_{i=1}^na_i^2+\sum_{i=1}^na_i*(a_1+a_2+a_3+...+a_{i-1}+a_{i+1}+a_{i+2}...+a_n)\\ =(n-1)\sum_{i=1}^na_i^2+\sum_{i=1}^na_i*(s-a_i)\\ =(n-1)\sum_{i=1}^na_i^2+s*\sum_{i=1}^na_i-\sum_{i=1}^na_i^2\\ =(n-2)\sum_{i=1}^na_i^2+s^2 \]