笔记 | 第一个量子算法:Deutsch-Jozsa算法,非常好懂!

《关于胡小兔的博客又诈尸了这件事》

信息物理真是难啊!上节课讲了量子计算的最基础的概念和Deutsch-Jozsa算法,我看了好几天才看懂……
等考完试估计我就忘了,所以今天先写个博客给未来的我讲讲!

前置技能

// 这部分暂时鸽了。
// 信女愿在博客更新量子计算基础合集,只求小学期两门A-……
// 不过安利一个网站:IBM的量子计算教程,还可以用IBM的qiskit库实践!而且这个网站的颜值真的很高2333

Deutsch算法

众所周知,量子计算机可以利用量子比特(qubit)的叠加态,实现并行计算,从而快速计算一些传统计算机上复杂度很高的问题。但是这种并行计算是怎么实现的呢……?为了理解量子并行,我们找到了一个很好的例子——Deutsch算法。顾名思义,学会这个Deutsch算法,你的Deutsch-Jozsa就学会一大半了(雾

目标

有一个未知的黑盒\(f: \{0, 1\} \rightarrow \{0, 1\}\),求\(f(0) \oplus f(1)\)\(\oplus\)表示异或)。

传统算法

在传统计算机上,我们必须调用\(f\)函数两次,一次求\(f(0)\),一次求\(f(1)\),再异或起来,得到答案。但是在量子电路中,只需要一次计算!

量子算法

Deutsch算法就是如下的电路:

其中,中间那个大方块\(U_f\)是一个特殊的门,输入\(x\)\(y\),输出\(x\)\(y\oplus f(x)\)。三个\(H\)门是Hadamard门,要记得:

\[H|0\rangle = |+\rangle = (|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt2 \]

\[H|1\rangle = |-\rangle = (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2 \]

\[H|+\rangle = |0\rangle \]

\[H|-\rangle = |1\rangle \]

电路的输入是固定的:\(H|\psi_0\rangle = |01\rangle\)。接下来,我们来算一下\(|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, |\psi_3\rangle\)都是什么,然后就知道测量结果和\(f\)的关系了!

刚刚说过,\(H|0\rangle = |+\rangle = (|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt2, H|1\rangle = |-\rangle = (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2\),所以

\[|\psi_1\rangle = (H|0\rangle)(H|1\rangle) = (|0\rangle + |1\rangle)(|0\rangle - |1\rangle)/2. \]

接下来就要考虑这个\(U_f\)了。为了计算方便,我们先设它第一个输入值是\(|x\rangle\),第二个输入值直接代入\((|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2\)。那么,

\[\begin{aligned} U_f |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2 &= |x\rangle (|f(x)\rangle - |1\oplus f(x)\rangle)/\sqrt2 \\ &= \begin{cases} |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2, \text{ if }f(x) = 0, \\ |x\rangle (|1\rangle - |0\rangle)/\sqrt2, \text{ if }f(x) = 1 \\ \end{cases}\\ &= (-1)^{f(x)} |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2. \end{aligned}\]

看起来非常的简洁!

接下来把\(x = (|0\rangle + |1\rangle) / \sqrt2\)代进去:

\[\begin{aligned} |\psi_2\rangle &= U_f (|0\rangle + |1\rangle)(|0\rangle - |1\rangle)/2 \\ &= \left[(-1)^{f(0)} |0\rangle + (-1)^{f(1)} |1\rangle\right] (|0\rangle - |1\rangle)/2 \\ &= (-1)^{f(0)} \left[|0\rangle + (-1)^{f(0)\oplus f(1)} |1\rangle\right] (|0\rangle - |1\rangle)/2. \\ \end{aligned}\]

其实分开写就是

\[ |\psi_2\rangle = \begin{cases} (-1)^{f(0)}|+\rangle|-\rangle, \text{ if }f(0) \oplus f(1) = 0, \\ (-1)^{f(0)}|-\rangle|-\rangle, \text{ if }f(0) \oplus f(1) = 1. \\ \end{cases}\]

但是我们实在不喜欢\(|+\rangle\)\(|-\rangle\),还是更喜欢\(|0\rangle\)\(|1\rangle\)。于是我们又在第一条输出线路上加了一个H门,把\(|+\rangle\)\(|-\rangle\)转换回\(|0\rangle\)\(|1\rangle\)。这样,\(|\psi_{3L}\rangle\)(就是\(|\psi_3\rangle\)中的第一个qubit,即右上角被测量的那个比特)就是:

\[ |\psi_{3L}\rangle = \begin{cases} (-1)^{f(0)}|0\rangle, \text{ if }f(0) \oplus f(1) = 0, \\ (-1)^{f(0)}|1\rangle, \text{ if }f(0) \oplus f(1) = 1. \\ \end{cases}\]

这样我们只需要沿\(|0\rangle\)测量一下\(|\psi_{3L}\rangle\),测出\(|0\rangle\)就说明\(f(0) \oplus f(1) = 0\),反之就说明\(f(0) \oplus f(1) = 1\),这样就可以100%确定\(f(0) \oplus f(1)\)的值了!至此就是Deutsch算法的内容。

神奇的地方在于:在量子版的算法中,我们只调用了一次\(U_f\)!而在传统计算机上,我们至少要调用两次\(f\)。你可能会说:差个常数2有啥大不了的嘛!确实,在Deutsch算法并没有在复杂度上体现出量子算法的优越性,但是接下来的Deutsch-Jozsa算法就能体现出本质上的差异了!

Deutsch-Jozsa算法

目标

有一个未知的黑盒\(f: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}\)\(f\)可能有以下两种性质之一:

  • f是常函数
  • f是均匀的(balanced)。这里均匀指的是:\(f(x)\)对于恰好一半的\(x\)\(0\),而对另恰好一半的\(x\)\(1\)

\(f\)具有以上两种性质中的哪一种。

量子算法

Deutsch-Jozsa算法的电路图:

上面那“一条”线路实际上是\(n\)条,左上角的\(\not-^n\)符号表示这条线路代表\(n\)条线路。输入也随之变成了\(|\psi_0\rangle = |0\rangle^{\otimes n}|1\rangle\)。可以发现,Deutsch-Jozsa算法的电路图除了把第一条线路扩成了\(n\)条之外,和Deutsch算法的电路图并没有什么区别。(是不是突然有自信看懂了!)

让我们再用熟悉的方法,逐个计算\(|\psi_0\rangle, |\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, |\psi_3\rangle\)

\[\begin{aligned} |\psi_1\rangle &= (H|0\rangle^{\otimes n})(H|1\rangle) \\ &= \frac{1}{\sqrt2^n}(|0\rangle + |1\rangle)\otimes(|0\rangle + |1\rangle)\otimes\cdots\otimes(|0\rangle + |1\rangle)\otimes(|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt2\\ &= \frac{1}{\sqrt2^n} \sum_{x\in \{0, 1\}^n} |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle) / \sqrt2.\\ |\psi_2\rangle &= U_f |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt2^n} \sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} |x\rangle (|0\rangle - |1\rangle) / \sqrt2. \end{aligned}\]

最后一步,我们要计算\(|\psi_{3L}\rangle = H|\psi_2\rangle\)。这一步稍微有点难算,再坚持一下!

考虑单个qubit\(x_1\),有
\(H|x_1\rangle = \sum_{z_1 \in \{0, 1\}} (-1)^{x_1z_1} |z_1\rangle\)
那么对\(n\)个qubit组成的\(|x\rangle\),有

\[H|x\rangle = H|x_1 x_2 \cdots x_n\rangle = \sum_{z \in \{0, 1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i z_i} |z\rangle / \sqrt2^n. \]

所以

\[|\psi_{3L}\rangle = \frac{1}{\sqrt2^n} \sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} H|x\rangle = \frac1{2^n} \sum_{x \in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} \sum_{z \in \{0, 1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i z_i} |z\rangle. \]

接下来我们测量一下\(|\psi_{3L}\rangle\),见证奇迹的时刻到了!

测得\(|0\rangle^{\otimes n}\)的概率是:

\[\langle \psi_{3L} | 0 \rangle \langle 0 | \psi_{3L} \rangle = \left(\frac1{2^n} \sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)}\right)^2, \]

因为除了\(| 0 \rangle\)以外的\(| z \rangle\)都和\(| 0 \rangle\)垂直,内积是0,所以其他项都没了,只剩下\(| z \rangle = | 0 \rangle\)的这一项。

\(f\)是常函数时,所有\((-1)^{f(x)}\)都相等,\(\sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} = \pm 1\),平方之后就等于\(1\),所以测出\(|0\rangle^{\otimes n}\)的概率是1;
\(f\)是均匀的函数时,一半\((-1)^{f(x)} = 1\),另一半\((-1)^{f(x)} = -1\)\(\sum_{x\in \{0, 1\}^n} (-1)^{f(x)} = 0\),平方之后依然等于\(0\),所以测出\(|0\rangle^{\otimes n}\)的概率是0。

这样,只需运行这个电路一次,就可以100%确定\(f\)的性质了!

一些常见的困惑

Q:啥是量子计算……啥是qubit……
A:反正大概是OI用不到的东西……Qiskit Textbook欢迎你!(再次免费打广告)

Q:不是啊,你连\(f\)是啥都不知道,你这个\(U_f\)咋从\(f\)构建出来的啊?
A:好问题!答案是,并不知道怎么构建……这个算法应用的场景其实是“给出一个量子黑盒\(U_f\)”,而不是给出\(f\)。(如果给出\(f\),把\(f\)读进来、搞出一个真值表的复杂度就有\(2^n\)了……总之这个算法解决的问题不是这个。)

Q:只看上面那条线路,\(U_f\)对于\(|x\rangle\)不是相当于单位矩阵\(I_n\)一样,没有产生改变嘛?为啥第一条线路输出的不是\(H^{\otimes n}I_nH^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n} = |0\rangle^{\otimes n}\)呢?
A:好、好问题!问题出在“\(U_f\)对于\(|x\rangle\)相当于单位矩阵\(I_n\)”这句话上。事实上,\(U_f\)并不能写作\(I_n \otimes U_f'\)的形式,也就是说\(U_f\)并不能分成两个矩阵分别影响上下两条线路。

Q:我还是不明白。\(|x\rangle\)\(|0\rangle^{\otimes n}\)经过H门后得到的,再经过一次H门为啥没变回去???
A:换种说法,经过\(U_f\)门之后,上下两条线路(\(|x\rangle\)\(|y\rangle \oplus f(x)\))发生了纠缠,所以\(U_f\)门输出的“两条线路”也无法分成“\(|x\rangle \otimes (|y\rangle \oplus f(x))\)”这样的“张量积”形式,因而不能分开单独考虑了。

Q:所以这个算法有啥用处吗?
A:它的用处大概是……帮你理解量子并行计算,证明量子并行计算与传统计算机相比有优越之处。现在看起来,Deutsch-Jozsa算法解决的问题或许没啥用处,但或许以后类似的方法能解决更重要的问题吧~(现学现卖,并未深入了解 =_=|||)


以上就是Deutsch-Jozsa算法的讲解啦,我也刚学,可能有很多错误,欢迎大佬指正!>v<

Acknowledgement:感谢lpy大佬解答我的菜问题ヘ(;´Д`ヘ)

posted @ 2020-09-06 14:51  胡小兔  阅读(1826)  评论(7编辑  收藏