胡小兔的杜教筛学习笔记

好久没写数论题，今天在51nod抓了一道，发现自己早就把杜教筛忘得一干二净啦~ 所以今天我把杜教筛学习笔记整理一下，防止以后再次忘记 =v=

[Warning] 杜教筛复杂度证明我暂时还不会 >_< 我会抓紧时间学的

前置技能

如果你已经了解了以下某些部分的内容，请跳过该部分。

积性函数

\(f\)是一个数论函数，若对于任意两个互质的数\(a\)和\(b\)有\(f(a*b) = f(a)*f(b)\)，则称\(f\)是积性函数。

（本文可能用到的）常见积性函数

• \(1(n) = 1\)
• \(Id(n) = n\)
• \(e(n) = [n == 1]\)
• \(d(n)\) 因数个数
• \(\sigma(n)\) 因数之和
• \(\mu(n)\) 莫比乌斯函数
• \(\varphi(n)\) 欧拉函数

狄利克雷卷积

两个数论函数\(f\)和\(g\)对于\(n\)的狄利克雷卷积\((f * g)(n)\)是\(\sum_{d | n}f(d)g(\frac{n}{d})\)。

两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数（此时\(n\)是传入函数中的参数），即：若\(f\)和\(g\)是积性函数，\(h(n) = \sum_{d | n}f(d)g(\frac{n}{d})\)，则\(h\)是积性函数。

常见狄利克雷卷积

• \(\mu * 1 = e\)，即\(\sum_{d|n}\mu(d) = [n == 1]\)
• \(\mu * Id = \varphi\)，即\(\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d} = \varphi(n)\)
• \(\varphi * 1 = Id\)，即\(\sum_{d|n}\varphi(d) = n\)

杜教筛

杜教筛是用来在\(O(n^\frac{2}{3})\)时间内求一些积性函数的前缀和的。

假设我们要求前缀和的函数是\(f\)，它的前缀和为\(S\)， 即\(S(n) = \sum_{i = 1}^{n}f(i)\)。

我们选择一个积性函数\(g\)用来和\(f\)卷一卷。（\(g\)是哪来的？怎么求？……不知道，因题而定，基本靠猜 = =）

然后求一下\(f*g\)的前缀和：

\[\begin{align*} \sum_{i = 1}^{n} (f*g)(i) &= \sum_{i = 1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \\&= \sum_{d = 1}^{n}g(d)\sum_{d|i} f(\frac{i}{d}) \\ &= \sum_{d = 1}^ng(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= g(1)S(n) + \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\&= S(n) + \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align*} \]

那么移项可得

\[S(n) = \sum_{i = 1}^{n} (f*g)(i) - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

如果这个\((f*g)(n)\)的前缀和非常好求的话，\(S(n)\)就可以数论分块（看！那有个\(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)！）然后递归求解下去了。（这里需要用个哈希表之类的东西记忆化。）

栗子

求\(\varphi\)的前缀和

\(\varphi * 1 = Id\)，那么

\[\begin{align*}S(n) &= \sum_{i = 1}^{n} (\varphi*1)(i) - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= \sum_{i = 1}^{n} i - \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \\ &= \frac{n (n + 1)}{2}- \sum_{d = 2}^{n}g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \end{align*} \]

递归求解即可。

我的代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <map>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
typedef long long ll;
using namespace std;
template <class T>
void read(T &x){
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
        if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
        x = x * 10 + c - '0';
    if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}

const int N = 5000000, P = 1000000007, inv2 = 500000004, S = 1333333;
ll n, m;
int phi[N], sum[N], prime[N], tot, idx;
int adj[S], nxt[S], val[S];
ll num[S];
bool notprime[N];

void add(ll u, ll v){
    num[++idx] = u;
    val[idx] = v;
    nxt[idx] = adj[u % S];
    adj[u % S] = idx;
}
ll find(ll u){
    for(int e = adj[u % S]; e; e = nxt[e])
        if(num[e] == u) return val[e];
    return -1;
}
void init(){
    phi[1] = 1;
    for(ll i = 2; i <= m; i++){
        if(!notprime[i]) prime[++tot] = i, phi[i] = i - 1;
        for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= m; j++){
            notprime[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            else{
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
        }
    }
    for(ll i = 1; i <= m; i++)
        sum[i] = (sum[i - 1] + phi[i]) % P;
}
ll calc(ll x){
    if(x <= m) return sum[x];
    ll ret = find(x);
    if(ret != -1) return ret;
    ret = (x + 1) % P * (x % P) % P * inv2 % P;
    for(ll i = 2, last; i <= x; i = last + 1){
        last = x / (x / i);
        ret = (ret - (last - i + 1) % P * calc(x / i)) % P;
    }
    ret = (ret + P) % P;
    add(x, ret);
    return ret;
}

int main(){

    read(n), m = pow(n, 2.0 / 3) + 0.5;
    init();
    write(calc(n)), enter;
    
    return 0;
}