BZOJ 3907

Description

某城市的街道呈网格状，左下角坐标为A(0, 0)，右上角坐标为B(n, m)，其中n >= m。现在从A(0, 0)点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点(x, y)都要满足x >= y，请问在这些前提下，到达B(n, m)有多少种走法。

Input

输入文件中仅有一行，包含两个整数n和m，表示城市街区的规模。

Output

输出文件中仅有一个整数和一个换行/回车符，表示不同的方案总数。

Sample Input
6 6
Sample Output
132

分析:
n= m时，退化为《组合数学》例题，向上为-1，向左为1，如果过线，则存在\(k\) 使得\(\sum_{j= 1}^{j <= k} < 0\) 然后，满足卡特兰递推关系。。。
n != m
证明思想类似那个那个例题思想。就是翻转-1,和1串，发现每个不合法串对应一个翻转后的串
我们假设1表示向右走，-1表示向上走，那么很显然问题可以转化为：给你n个1和m个-1，求出满足某个条件的数列的个数，这个条件是——对于任意一个数列s[1…i]，和大于等于0。我们可以用补集转化的方法，所有的个数为\((_{n+m}^{m})\)，然后我们再考虑不合法的个数。我们假定现在有一个数列，它的1和-1的个数分别是n和m，第一次出现不满足条件的位置是i。即s[1…i]当中，-1的个数=1的个数+1，并且s[i]=-1。我们把s[1…i]的所有-1变成1，1变成-1，这样，我们得到的新的数列，这个数列当中，1和-1的个数分别为n+1，m-1。我们发现，这个转化是一一对应的，也就是说，每一个不合法的数列，都对应了一个唯一的一个n+1,m-1的数列；而这个n+1,m-1的数列也正好和唯一的这个不合法串对应，满足充要性。于是我们得到了不合法的01串的个数就是\((_{n+m}^{m−1})\)。
然后拿全集-补集。得到答案
代码，很久没搞python，基本忘光了。
蒯了一份。
不过也就那几样。很容易想起来的。
python 代码。

fac={};
def C(n,m):
    return fac[n]/fac[m]/fac[n-m];
fac[0]=1;
for i in range(1,10000):
    fac[i]=fac[i-1]*i;               
f=raw_input().split(" ");
n=int(f[0]);m=int(f[1]);
print(C(n+m,n)-C(n+m,n+1));

算好阶乘，直接算。自带高精度就是任性