网络流24题
网络流24题
说在前边
- 一直没有完整的刷过这套题，打算最近一点点刷掉
- 通过《最小割模型在信息学竞赛中的应用》及《浅析一类最小割问题》学习常规建图技巧
飞行员配对方案问题
二分图最大匹配
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 100005;
const int N = 202;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {
int l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n+2;++i) d[i]=0;
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l<r) {
int u=q[l];++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {
if(u==ed)return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl) d[u]=0;
return fl-s;
}
int dinic() {
int ans=0;
while(bfs())ans+=dfs(st,inf);
return ans;
}
int main() {
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=n+2;++i) h[i]=-1;
st=n+1;ed=n+2;
int u,v;
while(scanf("%d%d",&u,&v)!=EOF) {
if(u==-1&&v==-1)break;
add(u,v,1);
}
for(int i=1;i<=m;++i) add(st,i,1);
for(int i=m+1;i<=n;++i) add(i,ed,1);
printf("%d\n",dinic());
int f=0;
for(int i=1;i<=m;++i) {
for(int j=h[i];~j;j=E[j].nxt) {
if(E[j].w==0&&E[j].e<=n)printf("%d %d\n",i,E[j].e),f=1;
}
}
if(!f) puts("No Solution!");
return 0;
}
太空飞行计划问题
最大权闭合子图，正点权连源，负点权连汇，点权的绝对值作为边权。原本图中的边容量为无穷。割集将图的源汇分开，与源点相通的点就是最大权闭合子图的点集。
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 100005;
const int N = 500;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {
int l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n+m+2;++i) d[i]=0;
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l<r) {
int u=q[l];++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {
if(u==ed)return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl) d[u]=0;
return fl-s;
}
int dinic() {
int ans=0;
while(bfs())ans+=dfs(st,inf);
return ans;
}
vector<int> v,v1,v2;
int vis[N];
void dfs2(int u) {
vis[u]=1;
if(u>=1&&u<=m)v1.push_back(u);
if(u>m&&u<=n+m) v2.push_back(u-m);
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!vis[v]&&E[i].w>0)dfs2(v);
}
}
int a[N],b[N];
int main() {
scanf(" %d %d ",&m,&n);
memset(h,-1,sizeof(h));
st=m+n+1;ed=st+1;
int ans = 0;
for(int i=1;i<=m;++i) {
string s;v.clear();
getline(cin,s);int c=0;
while(1){
int tmp = 0;
while(s[c]>='0'&&s[c]<='9'&&c<s.size()) tmp=tmp*10+s[c]-'0',++c;
v.push_back(tmp);
if(c==s.size()) break;
while(s[c]<'0'||s[c]>'9'&&c<s.size()) ++c;
}
add(st,i,v[0]);
ans+=v[0];
a[i]=v[0];
for(int j=1;j<v.size();++j) {
add(i,v[j]+m,inf);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i) {int x;
scanf("%d",&x);b[i]=x;
add(i+m,ed,x);
}
ans-=dinic();
dfs2(st);
int t=0;
for(auto x: v1)printf("%d ",x),t+=a[x];puts("");
for(auto x: v2)printf("%d ",x),t-=b[x];puts("");
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
最小路径覆盖问题
DAG最小路径覆盖，拆点二分图最大匹配。分析见这里
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 1000005;
const int N = 1500;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {
int l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n+n+2;++i) d[i]=0;
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l<r) {
int u=q[l];++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {
if(u==ed)return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl) d[u]=0;
return fl-s;
}
int dinic() {
int ans=0;
while(bfs())ans+=dfs(st,inf);
return ans;
}
int vis[N],in[N];
vector<int> G[N];
void dfs2(int u) {
vis[u]=1;
printf("%d ",u);
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(v>n&&v<=2*n&&!vis[v-n])--in[v-n];
}
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt)if(!E[i].w){
int v=E[i].e;
if(v>n&&v<=2*n&&!vis[v-n])dfs2(v-n);
}
}
int main() {
scanf(" %d %d ",&n,&m);
memset(h,-1,sizeof(h));
st = 2*n+1; ed = st+1;
for(int i=1;i<=n;++i) add(st,i,1);
for(int i=1;i<=n;++i) add(i+n,ed,1);
for(int i=1;i<=m;++i) {int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y+n,1);
++in[y];
}
int ans = n - dinic();
for(int i=1;i<=n;++i)if(!in[i]&&!vis[i]) {
dfs2(i);puts("");
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
魔术球问题
每根柱子看作是一条链，那么就是用最少的链把所有点都覆盖掉，及最小路径覆盖。在dinic跑的同时，加入新的点，直到超过n条链结束。其余同上题。
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 1000005;
const int lim = 5000;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<2];
int h[lim<<2],cc;
void add(int u,int v,int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[lim<<2],q[M],st,ed;
int bfs() {
int l=0,r=0;
memset(d,0,sizeof(d));
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l<r) {
int u=q[l];++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {
if(u==ed)return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl) d[u]=0;
return fl-s;
}
int vis[lim<<2],in[lim<<2];
void dfs2(int u,int cnt) {
vis[u]=1;
printf("%d ",u);
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(v<cnt+lim&&v>lim&&!vis[v-n])--in[v-n];
}
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt)if(!E[i].w){
int v=E[i].e;
if(v<cnt+lim&&v>lim&&!vis[v-lim])dfs2(v-lim,cnt);
}
}
int is2[M];
int main() {
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i*i<=100000;++i)is2[i*i]=1;
memset(h,-1,sizeof(h));
int cnt=0;
st = lim*2+2; ed = lim*2+3;
int ans=0;
for(int i=1;i<=lim;++i) add(st,i,1);
for(int i=1;i<=lim;++i) add(i+lim,ed,1);
while(1){
++cnt;
for(int i=1;i<cnt;++i)if(is2[i+cnt]){
add(i,cnt+lim,1);
++in[cnt];
}
while(bfs())ans+=dfs(st,inf);
int tmp = cnt - ans;
if(tmp==n+1)break;
}
printf("%d\n",cnt-1);
for(int i=1;i<cnt;++i)if(!vis[i]) {
dfs2(i,cnt);puts("");
}
return 0;
}
圆桌问题
二分图多重匹配，（总点数在变化。。。贴板子WA了几发
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 1000005;
const int N = 500;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {
int l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n+m+2;++i) d[i]=0;
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l<r) {
int u=q[l];++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {
if(u==ed)return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl) d[u]=0;
return fl-s;
}
int dinic() {
int ans=0;
while(bfs())ans+=dfs(st,inf);
return ans;
}
int a[N],b[N];
int main() {
scanf("%d%d",&m,&n);
memset(h,-1,sizeof(h));
st = m + n +1; ed = st+1;
int tmp = 0;
for(int i=1;i<=m;++i) {
scanf("%d",&a[i]);
add(st,i,a[i]);
tmp+=a[i];
}
for(int i=1;i<=n;++i) {
scanf("%d",&b[i]);
add(i+m,ed,b[i]);
}
for(int i=1;i<=m;++i)
for(int j=1;j<=n;++j) add(i,j+m,1);
int ans = dinic();
if(ans==tmp) {
puts("1");
for(int i=1;i<=m;++i) {
for(int j=h[i];~j;j=E[j].nxt)if(E[j].e>m&&E[j].e<=n+m&&!E[j].w) printf("%d ",E[j].e-m);
puts("");
}
}
else puts("0");
return 0;
}
最长递增子序列问题
第一问直接dp即可，第二问，先发现它是在第一问最长上升子序列的基础上做的。一眼的思路就是，我在dp的时候把以每个位置为最大值的，所有的最长上升子序列，最后取出其中的所有最长上升子序列，然后每个序列按顺序从左到右连边，每个点限流为1，然后直接最大流。这样做第二问应该是ok的。但是一开始用vector< vector > 存了所有的序列，可能爆内存吧。第三问用同样的方法，然后把1和n的限流改成了inf，如果他们和源汇相连也改成inf，还没搞清楚为什么会WA。其实不用求出所有序列，只要确定开头和末尾，中间把他们有转移关系的位置连边，限流，再最大流。第三问跟上面操作一样吧。
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define pb push_back
const int N = 844;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
int n, ans1, ans2, ans3;
struct edge{int e,w,nxt;}E[N*N*2];
int cc, h[N];
void add(int u, int v, int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int st, ed, d[N], q[N*N*2], in[N], out[N];
int bfs() {
int l=0,r=0;
for(int i=1;i<=2*n+3;++i)d[i]=0;
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l < r) {
int u = q[l]; ++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u, int fl) {
if(u==ed) return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;
E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl)d[u]=0;
return fl-s;
}
int dinic() {
int ans = 0;
while(bfs()) ans+=dfs(st,inf);
return ans;
}
int a[N], dp[N];
int main() {
scanf("%d",&n);
rep(i,1,n) scanf("%d",&a[i]);
// 1
rep(i,1,n)dp[i]=1;
rep(i,2,n)rep(j,1,i-1)
if(a[j]<a[i])dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
rep(i,1,n) ans1=max(ans1,dp[i]);
printf("%d\n",ans1);
// 2
st=n*2+1; ed=st+1;
rep(i,1,ed) h[i]=-1;
rep(i,1,n) add(i,i+n,1);
rep(i,1,n) if(dp[i] == 1) add(st,i,1);
rep(i,1,n) if(dp[i] == ans1) add(i+n,ed,1);
rep(i,1,n) rep(j,1,i)
if(a[i]>a[j]&&dp[i]==dp[j]+1) add(j+n,i,1);
int ans2 = dinic();
printf("%d\n",ans2);
//3
add(1,1+n,inf);
add(st,1,inf);
add(n,n+n,inf);
if(dp[n]==ans1) add(n+n,ed,inf);
int ans3 = ans2 + dinic();
printf("%d\n",ans3);
return 0;
}
