4.1 线性齐次常微分方程解的相关性

如存在不全为零的数 \(\{\lambda_i; i = 1,2,3,\cdots,n\}\), 使得对于任意可能的自变量 \(z\), 以下式子均成立

\[\sum_{i=1}^n \lambda_i \phi_i(z) = 0 \]

则该组函数是线性相关的。

\(\lambda_i\) 不全为零的条件是朗斯基行列式为零:

\[\begin{vmatrix} \phi_1(z) & \phi_2(z) & \cdots & \phi_n(z) \\ \phi'_1(z) & \phi'_2(z) & \cdots & \phi'_n(z) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_1^{(n-1)}(z) & \phi_2^{(n-1)}(z) & \cdots & \phi_n^{(n-1)}(z) \end{vmatrix} = 0\]

一组函数对应的上述朗斯基行列式不为零,则该组函数必线性无关。

二阶线性齐次常微分方程解的线性相关性:

二阶线性齐次常微分方程的任意三个解必线性相关

n-阶线性齐次常微分方程最多只有 n 个线性无关的解