力扣--二进制枚举

题目：

我们有 n 栋楼，编号从 0 到 n - 1 。每栋楼有若干员工。由于现在是换楼的季节，部分员工想要换一栋楼居住。

给你一个数组 requests ，其中 requests[i] = [fromi, toi] ，表示一个员工请求从编号为 fromi 的楼搬到编号为 toi 的楼。

一开始 所有楼都是满的，所以从请求列表中选出的若干个请求是可行的需要满足 每栋楼员工净变化为 0 。意思是每栋楼 离开 的员工数目 等于 该楼 搬入 的员工数数目。比方说 n = 3 且两个员工要离开楼 0 ，一个员工要离开楼 1 ，一个员工要离开楼 2 ，如果该请求列表可行，应该要有两个员工搬入楼 0 ，一个员工搬入楼 1 ，一个员工搬入楼 2 。

请你从原请求列表中选出若干个请求，使得它们是一个可行的请求列表，并返回所有可行列表中最大请求数目。

 

解答：

我们可以通过回溯的方式枚举每一个请求是否被选择。

定义函数 \text{dfs}(\textit{pos})dfs(pos) 表示我们正在枚举第 \textit{pos}pos 个请求。同时，我们使用数组 \textit{delta}delta 记录每一栋楼的员工变化量，以及变量 \textit{cnt}cnt 记录被选择的请求数量。

对于第 \textit{pos}pos 个请求 [x,y][x,y]，如果选择该请求，那么就需要将 \textit{delta}[x]delta[x] 的值减 11，\textit{delta}[y]delta[y] 的值加 11，\textit{cnt}cnt 的值加 11；如果不选择该请求，则不需要进行任何操作。在这之后，我们调用 \text{dfs}(\textit{pos}+1)dfs(pos+1) 枚举下一个请求。

如果我们枚举完了全部请求，则需要判断是否满足要求，也就是判断 \textit{delta}delta 中的所有值是否均为 00。若满足要求，则更新答案的最大值。

代码实现时，可以在修改 \textit{delta}delta 的同时维护 \textit{delta}delta 中的 00 的个数，记作 \textit{zero}zero，初始值为 nn。如果 \textit{delta}[x]delta[x] 增加或减少前为 00，则将 \textit{zero}zero 减 11；如果 \textit{delta}[x]delta[x] 增加或减少后为 00，则将 \textit{zero}zero 加 11。

Python3C++JavaC#GolangCJavaScript

class Solution {
private:
vector<int> delta;
int ans = 0, cnt = 0, zero, n;

public:
void dfs(vector<vector<int>> &requests, int pos) {
if (pos == requests.size()) {
if (zero == n) {
ans = max(ans, cnt);
}
return;
}

// 不选 requests[pos]
dfs(requests, pos + 1);

// 选 requests[pos]
int z = zero;
++cnt;
auto &r = requests[pos];
int x = r[0], y = r[1];
zero -= delta[x] == 0;
--delta[x];
zero += delta[x] == 0;
zero -= delta[y] == 0;
++delta[y];
zero += delta[y] == 0;
dfs(requests, pos + 1);
--delta[y];
++delta[x];
--cnt;
zero = z;
}

int maximumRequests(int n, vector<vector<int>> &requests) {
delta.resize(n);
zero = n;
this->n = n;
dfs(requests, 0);
return ans;
}
};
复杂度分析

时间复杂度：O(2^m)O(2
m
)，其中 mm 是数组 \textit{requests}requests 的长度，即请求的数量。从 mm 个请求中任意选择请求的方案数为 2^m2
m
，对于每一种方案，我们需要 O(1)O(1) 的时间判断其是否满足要求。

空间复杂度：O(m+n)O(m+n)。递归需要 O(m)O(m) 的栈空间，数组 \textit{delta}delta 需要 O(n)O(n) 的空间。

方法二：二进制枚举
我们可以使用一个长度为 mm 的二进制数 \textit{mask}mask 表示所有的请求，其中 \textit{mask}mask 从低到高的第 ii 位为 11 表示选择第 ii 个请求，为 00 表示不选第 ii 个请求。我们可以枚举 [0,2^m-1][0,2
m
−1] 范围内的所有 \textit{mask}mask，对于每个 \textit{mask}mask，依次枚举其每一位，判断是否为 11，并使用与方法一相同的数组 \textit{delta}delta 以及变量 \textit{cnt}cnt 进行统计，在满足要求时更新答案。

Python3C++JavaC#GolangCJavaScript

class Solution:
def maximumRequests(self, n: int, requests: List[List[int]]) -> int:
ans = 0
for mask in range(1 << len(requests)):
cnt = mask.bit_count()
if cnt <= ans:
continue
delta = [0] * n
for i, (x, y) in enumerate(requests):
if mask & (1 << i):
delta[x] += 1
delta[y] -= 1
if all(x == 0 for x in delta):
ans = cnt
return ans
复杂度分析

时间复杂度：O(2^m \times n)O(2
m
×n)，其中 mm 是数组 \textit{requests}requests 的长度，即请求的数量。从 mm 个请求中任意选择请求的方案数为 2^m2
m
，对于每一种方案，我们需要 O(n)O(n) 的时间判断其是否满足要求。

空间复杂度：O(n)O(n)。数组 \textit{delta}delta 需要 O(n)O(n) 的空间。