浅谈线段树活用

SP1716 GSS3 - Can you answer these queries III

线段树求最大子段和

我们考虑对于每个区间维护四个值：sum、suml、sumr、res，分别存区间和、从左端点开始的最大子段和、从右端点开始的最大子段和、这个区间的最大子段和。

sum 的维护都会，对于 suml 和 sumr 有两种情况：

1. suml 就等于左儿子的 suml。

   

2. suml 等于左儿子的区间和+右儿子的 suml。

   

sumr 同理。对于所有情况取 \(max\) 即可。

有了这些东西怎么来得出答案呢？

答案分为三种情况：

1. res 等于左儿子的 res。

2. res 等于右儿子的 res。

3. res 等于左儿子的 sumr + 右儿子的 suml。

   

对于所有情况取 \(max\) 即可。

综上，我们解决了这题。

#include<bits/stdc++.h>
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
using namespace std;
inline int read(){
  int ans=0,f=1;char ch=getchar();
  while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
  while(isdigit(ch)){ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-48;ch=getchar();}
  return ans*f;
}
const int N=5e4+5;
int n,Q;
int a[N];
struct QK{
  int sum,suml,sumr,res;
}seg[N<<2];
void merge(int x){
  seg[x].sum=seg[ls].sum+seg[rs].sum;
  seg[x].suml=max(seg[ls].suml,seg[ls].sum+seg[rs].suml);
  seg[x].sumr=max(seg[rs].sumr,seg[rs].sum+seg[ls].sumr);
  seg[x].res=max(seg[ls].res,max(seg[rs].res,seg[ls].sumr+seg[rs].suml));
}
void build(int x,int l,int r){
  if(l==r){
    seg[x].sum=seg[x].suml=seg[x].sumr=seg[x].res=a[l];
    return;
  }
  int mid=l+r>>1;
  build(ls,l,mid);
  build(rs,mid+1,r);
  merge(x);
}
void update(int x,int l,int r,int p,int v){
  if(l==r){seg[x].sum=seg[x].suml=seg[x].sumr=seg[x].res=v;return;}
  int mid=l+r>>1;
  if(p<=mid) update(ls,l,mid,p,v);
  else update(rs,mid+1,r,p,v);
  merge(x);
}
QK query(int x,int l,int r,int xl,int xr){
  if(xl<=l&&xr>=r) return seg[x];
  int mid=l+r>>1;
  if(xr<=mid) return query(ls,l,mid,xl,xr);
  if(xl>mid) return query(rs,mid+1,r,xl,xr);
  QK res,tmpl=query(ls,l,mid,xl,xr),tmpr=query(rs,mid+1,r,xl,xr);
  res.sum=tmpl.sum+tmpr.sum;
  res.suml=max(tmpl.suml,tmpl.sum+tmpr.suml);
  res.sumr=max(tmpr.sumr,tmpr.sum+tmpl.sumr);
  res.res=max(tmpl.sumr+tmpr.suml,max(tmpl.res,tmpr.res));
  return res;
}
int main(){
  n=read();
  for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
  build(1,1,n);
  Q=read();
  while(Q--){
    int opt=read(),x=read(),y=read();
    if(opt) printf("%d\n",query(1,1,n,x,y).res);
    else update(1,1,n,x,y);
  }
  return 0;
}

SP6779 GSS7 - Can you answer these queries VII

高配版，移到了树上进行操作

我们只用树剖一下，然后按之前的做法维护即可。

注意下细节就可以了（调了1小时）。

#include<bits/stdc++.h>
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
using namespace std;
inline int read(){
  int ans=0,f=1;char ch=getchar();
  while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
  while(isdigit(ch)){ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-48;ch=getchar();}
  return ans*f;
}
const int N=1e5+5;
struct QK{
  int sum,suml,sumr,res,cov;
}seg[N<<2];
int lazy[N<<2];
int n,Q,a[N];
int hd[N],nx[N<<1],to[N<<1],tot;
void adde(int u,int v){
  nx[++tot]=hd[u];to[tot]=v;hd[u]=tot;
  nx[++tot]=hd[v];to[tot]=u;hd[v]=tot;
}
int fa[N],son[N],sz[N],dep[N];
void dfs1(int u,int father){
  fa[u]=father;sz[u]=1;dep[u]=dep[father]+1;
  for(int i=hd[u];i;i=nx[i]){
    int v=to[i];
    if(v==father) continue;
    dfs1(v,u);
    sz[u]+=sz[v];
    if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
  }
}
int top[N],dfn[N],nfd[N],dfstime;
void dfs2(int u,int anc){
  dfn[u]=++dfstime;top[u]=anc;nfd[dfstime]=u;
  if(son[u]) dfs2(son[u],anc);
  for(int i=hd[u];i;i=nx[i]){
    int v=to[i];
    if(v==fa[u]||v==son[u]) continue;
    dfs2(v,v);
  }
}
void update(int x,int l,int r,int v){
  seg[x].sum=v*(r-l+1);
  seg[x].res=seg[x].sumr=seg[x].suml=max(0,seg[x].sum);
  lazy[x]=v;seg[x].cov=1;
}
void pushdown(int x,int l,int r){
  int mid=l+r>>1;
  if(seg[x].cov){
    update(ls,l,mid,lazy[x]);
    update(rs,mid+1,r,lazy[x]);
    lazy[x]=seg[x].cov=0;
  }
}
void merge(QK &x,QK l,QK r){
  x.sum=l.sum+r.sum;
  x.suml=max(l.suml,l.sum+r.suml);
  x.sumr=max(r.sumr,r.sum+l.sumr);
  x.res=max(l.res,max(r.res,l.sumr+r.suml));
}
void update(int x,int l,int r,int xl,int xr,int v){
  if(xl<=l&&xr>=r){
    update(x,l,r,v);
    return;
  }
  pushdown(x,l,r);
  int mid=l+r>>1;
  if(xl<=mid) update(ls,l,mid,xl,xr,v);
  if(xr>mid) update(rs,mid+1,r,xl,xr,v);
  merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
}
void build(int x,int l,int r){
  if(l==r){
    seg[x].sum=a[nfd[l]];
    seg[x].suml=seg[x].sumr=seg[x].res=max(0,seg[x].sum);
    lazy[x]=0;
    return;
  }
  int mid=l+r>>1;
  build(ls,l,mid);
  build(rs,mid+1,r);
  merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
}
QK query(int x,int l,int r,int xl,int xr){
  if(xl<=l&&xr>=r) return seg[x];
  pushdown(x,l,r);
  int mid=l+r>>1;
  if(xr<=mid) return query(ls,l,mid,xl,xr);
  if(xl>mid) return query(rs,mid+1,r,xl,xr);
  QK res;
  merge(res,query(ls,l,mid,xl,xr),query(rs,mid+1,r,xl,xr));
  return res;
}
void chainmodify(int x,int y,int v){
  while(top[x]!=top[y]){
    if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
    update(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x],v);
    x=fa[top[x]];
  }
  if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
  update(1,1,n,dfn[x],dfn[y],v);
}
void clear(QK &x){
  x.sum=x.suml=x.sumr=x.res=0;
}
QK chainquery(int x,int y){
  QK res,L,R;
  clear(L);clear(R);clear(res);
  while(top[x]!=top[y]){
    if(dep[top[x]]<dep[top[y]]){
      merge(R,query(1,1,n,dfn[top[y]],dfn[y]),R);
      y=fa[top[y]];
    }
    else{
      merge(L,query(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]),L);
      x=fa[top[x]];
    }
  }
  if(dep[x]>dep[y]) merge(L,query(1,1,n,dfn[y],dfn[x]),L);
  else merge(R,query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]),R);
  swap(L.suml,L.sumr);
  merge(res,L,R);
  return res;
}
int main(){
  n=read();
  for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
  for(int i=1;i<n;i++){
    int x=read(),y=read();
    adde(x,y);
  }
  dfs1(1,0);
  dfs2(1,1);
  build(1,1,n);
  Q=read();
  while(Q--){
    int opt=read(),x=read(),y=read();
    if(opt==1) printf("%d\n",chainquery(x,y).res);
    else chainmodify(x,y,read());
  }
  return 0;
}

[SHOI2008]堵塞的交通

线段树维护区间连通

考虑维护每一列的区间连通性，以每一列为叶子节点建树，并定义以下变量：

• \(l\) 左上角到左下角是否连通
• \(r\) 右上角到右下角是否连通
• \(u\) 左上角到右上角是否连通
• \(d\) 左下角到右下角是否连通
• \(p\) 左上角到右下角是否连通
• \(q\) 左下角到右上角是否连通
• \(left\) 当前区间的左端点
• \(right\) 当前区间的右端点

如图：

同时，定义 \(con[i][0/1]\) 数组表示第 \(1/2\) 行的第 \(i\) 列和 \(i+1\) 列是否连通。

初始时，

对于叶子节点：

• \(l=r=1\)（自己到自己）
• \(u=d=p=q=0\)

对于所有节点，\(con[x][0/1]=0\)

考虑怎么合并两个区间的状态。（这里只考虑区间内的路径，对于区间外使区间连通的路径不考虑）

对于 \(l\) （\(r\) 同理）有红青两条路径。

x.l=l.l|(l.u&con[l.right][0]&r.l&con[l.right][1]&l.d);
x.r=r.r|(r.u&con[l.right][0]&l.r&con[l.right][1]&r.d);

对于 \(u\)（\(d\) 同理）有红青两条路径。

x.u=(l.u&con[l.right][0]&r.u)|(l.p&con[l.right][1]&r.q);
x.d=(l.d&con[l.right][1]&r.d)|(l.q&con[l.right][0]&r.p);

对于 \(p\) （\(q\) 同理）有红青两条路径。

x.p=(l.p&con[l.right][1]&r.d)|(l.u&con[l.right][0]&r.p);
x.q=(l.q&con[l.right][0]&r.u)|(l.d&con[l.right][1]&r.q);

整个合并函数：

void merge(QK &x,QK l,QK r){
  x.left=l.left;
  x.right=r.right;
  x.l=l.l|(l.u&con[l.right][0]&r.l&con[l.right][1]&l.d);
  x.r=r.r|(r.u&con[l.right][0]&l.r&con[l.right][1]&r.d);
  x.u=(l.u&con[l.right][0]&r.u)|(l.p&con[l.right][1]&r.q);
  x.d=(l.d&con[l.right][1]&r.d)|(l.q&con[l.right][0]&r.p);
  x.p=(l.p&con[l.right][1]&r.d)|(l.u&con[l.right][0]&r.p);
  x.q=(l.q&con[l.right][0]&r.u)|(l.d&con[l.right][1]&r.q);
}

对于修改，我们分为同行修改和同列修改，同行修改改 \(con[x][0/1]\)，同列修改改 \(l,r,q,p\)。同行修改改完后要合并一下。

void update1(int x,int l,int r,int p,int h,int val){
  int mid=l+r>>1;
  if(mid==p){
    con[p][h]=val;
    merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
    return;
  }
  if(mid>=p) update1(ls,l,mid,p,h,val);
  else update1(rs,mid+1,r,p,h,val);
  merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
}
void update2(int x,int l,int r,int p,int val){
  if(l==r){
    seg[x].l=seg[x].r=seg[x].p=seg[x].q=val;
    return;
  }
  int mid=l+r>>1;
  if(mid>=p) update2(ls,l,mid,p,val);
  else update2(rs,mid+1,r,p,val);
  merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
}

询问是正常的区间询问

QK query(int x,int l,int r,int xl,int xr){
  if(xl<=l&&xr>=r) return seg[x];
  int mid=l+r>>1;
  if(mid<xl) return query(rs,mid+1,r,xl,xr);
  if(mid>=xr) return query(ls,l,mid,xl,xr);
  QK res=seg[x];
  merge(res,query(ls,l,mid,xl,xr),query(rs,mid+1,r,xl,xr));
  return res;
}

最后答案判断要分为 \([1,c1],[c1,c2],[c2,n]\) 三个区间来判断，像写 \(merge\) 函数一样大力讨论就好了。（画不动图了）

if(s[0]=='A'){
  int flag=0;
  QK L=query(1,1,n,1,c1),MID=query(1,1,n,c1,c2),R=query(1,1,n,c2,n);
  if(r1==1&&r2==1) flag=MID.u|(L.r&MID.q)|(R.l&MID.p)|(L.r&MID.d&R.l);
  if(r1==1&&r2==2) flag=MID.p|(L.r&MID.d)|(R.l&MID.u)|(L.r&MID.q&R.l);
  if(r1==2&&r2==1) flag=MID.q|(L.r&MID.u)|(R.l&MID.d)|(L.r&MID.p&R.l);
  if(r1==2&&r2==2) flag=MID.d|(L.r&MID.p)|(R.l&MID.q)|(L.r&MID.u&R.l);
  printf(flag?"Y\n":"N\n");
}

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
using namespace std;
inline int read(){
  int ans=0,f=1;char ch=getchar();
  while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
  while(isdigit(ch)){ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-48;ch=getchar();}
  return ans*f;
}
const int N=1e5+5;
struct QK{
  int left,right;
  int l,r,u,d,q,p;
}seg[N<<2];
int n;
int con[N][2];
void merge(QK &x,QK l,QK r){
  x.left=l.left;
  x.right=r.right;
  x.l=l.l|(l.u&con[l.right][0]&r.l&con[l.right][1]&l.d);
  x.r=r.r|(r.u&con[l.right][0]&l.r&con[l.right][1]&r.d);
  x.u=(l.u&con[l.right][0]&r.u)|(l.p&con[l.right][1]&r.q);
  x.d=(l.d&con[l.right][1]&r.d)|(l.q&con[l.right][0]&r.p);
  x.p=(l.p&con[l.right][1]&r.d)|(l.u&con[l.right][0]&r.p);
  x.q=(l.q&con[l.right][0]&r.u)|(l.d&con[l.right][1]&r.q);
}
void build(int x,int l,int r){
  seg[x].left=l,seg[x].right=r;
  if(l==r){
    seg[x].u=seg[x].d=1;
    return;
  }
  int mid=l+r>>1;
  build(ls,l,mid);
  build(rs,mid+1,r);
  merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
}
void update1(int x,int l,int r,int p,int h,int val){
  int mid=l+r>>1;
  if(mid==p){
    con[p][h]=val;
    merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
    return;
  }
  if(mid>=p) update1(ls,l,mid,p,h,val);
  else update1(rs,mid+1,r,p,h,val);
  merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
}
void update2(int x,int l,int r,int p,int val){
  if(l==r){
    seg[x].l=seg[x].r=seg[x].p=seg[x].q=val;
    return;
  }
  int mid=l+r>>1;
  if(mid>=p) update2(ls,l,mid,p,val);
  else update2(rs,mid+1,r,p,val);
  merge(seg[x],seg[ls],seg[rs]);
}
QK query(int x,int l,int r,int xl,int xr){
  if(xl<=l&&xr>=r) return seg[x];
  int mid=l+r>>1;
  if(mid<xl) return query(rs,mid+1,r,xl,xr);
  if(mid>=xr) return query(ls,l,mid,xl,xr);
  QK res=seg[x];
  merge(res,query(ls,l,mid,xl,xr),query(rs,mid+1,r,xl,xr));
  return res;
}
int main(){
  n=read();
  build(1,1,n);
  while(1){
    char s[N];
    cin>>s;
    if(s[0]=='E') break;
    int r1=read(),c1=read(),r2=read(),c2=read();
    if(c1>c2) swap(r1,r2),swap(c1,c2);
    if(s[0]=='O'){
      if(r1==r2) update1(1,1,n,c1,r1-1,1);
      else update2(1,1,n,c1,1);
    }
    if(s[0]=='C'){
      if(r1==r2) update1(1,1,n,c1,r1-1,0);
      else update2(1,1,n,c1,0);
    }
    if(s[0]=='A'){
      int flag=0;
      QK L=query(1,1,n,1,c1),MID=query(1,1,n,c1,c2),R=query(1,1,n,c2,n);
      if(r1==1&&r2==1) flag=MID.u|(L.r&MID.q)|(R.l&MID.p)|(L.r&MID.d&R.l);
      if(r1==1&&r2==2) flag=MID.p|(L.r&MID.d)|(R.l&MID.u)|(L.r&MID.q&R.l);
      if(r1==2&&r2==1) flag=MID.q|(L.r&MID.u)|(R.l&MID.d)|(L.r&MID.p&R.l);
      if(r1==2&&r2==2) flag=MID.d|(L.r&MID.p)|(R.l&MID.q)|(L.r&MID.u&R.l);
      printf(flag?"Y\n":"N\n");
    }
  }
  return 0;
}

未完待续……