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题目描述

儿童节那天有 K 位小朋友到小明家做客。小明拿出了珍藏的巧克力招待小朋友们。

小明一共有 N 块巧克力，其中第 i 块是 Hi​×Wi​ 的方格组成的长方形。

为了公平起见，小明需要从这 N 块巧克力中切出 K 块巧克力分给小朋友们。切出的巧克力需要满足：

  1. 形状是正方形，边长是整数。

  2. 大小相同。

例如一块 6×5 的巧克力可以切出 6 块 2×2 的巧克力或者 2 块 3×3 的巧克力。

当然小朋友们都希望得到的巧克力尽可能大，你能帮小 Hi​ 计算出最大的边长是多少么？

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 K。(1≤N,K≤1e5)。

以下 N 行每行包含两个整数 Hi​ 和 Wi​。(1≤Hi​,Wi​≤1e5)。

输入保证每位小朋友至少能获得一块 1×1 的巧克力。

输出格式

输出切出的正方形巧克力最大可能的边长。

输入输出样例

输入 #1

2 10  
6 5  
5 6

输出 #1

2

一、思路分析

  1. 问题转化：我们需要找到一个最大的整数 x，使得所有巧克力可以切出的 x×x 正方形的总数 ≥ K。

  2. 二分查找：由于 x 的取值范围是 1 到某个最大值（比如 1e5），我们可以使用二分查找来高效地确定最大的 x。

  3. 验证函数：对于每个可能的 x，我们需要验证是否可以切出至少 K 块 x×x 的正方形。这可以通过遍历每块巧克力，计算每块可以切出的正方形数量（H//x × W//x），然后累加总数。

二分查找的细节

  1. 初始范围：左边界 l 初始化为 1，右边界 r 初始化为所有巧克力的最小边长的最大值（例如 1e5）。

  2. 调整范围：每次计算中间值 mid，如果 mid 合法，则尝试更大的值（l = mid + 1），否则尝试更小的值（r = mid - 1）。

  3. 终止条件：当 l > r 时，r 即为最大的合法边长。

暴力枚举的超时分析

假设 N = 1e5，max_x = 1e5，暴力枚举的时间复杂度为 O(1e5 * 1e5) = 1e10，这显然会超时。而二分查找的时间复杂度为 O(log(1e5) * 1e5) ≈ 1.7e5，效率提升显著。

二、代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,K;
int H[100005],W[100005];
int ans=0;
bool check(int x)
{
    int count = 0;
    for(int i=0;i<N;++i)
    {
        int t1 = H[i]/x;
        int t2 = W[i]/x;
        count += t1*t2;
    }
    if(count >= K)//边长为x的巧克力足够分
    {
        return true;
    }
    else return false;
}
int main()
{
    cin>>N>>K;
    for(int i=0;i<N;++i) cin>>H[i]>>W[i];
    //二分查找
    int l=1,r=100000,mid=0;
    while(l <= r)
    {
        mid = (l+r) >> 1;
        if(check(mid))//如果边长为mid合法
        {
            l = mid + 1;
        }
        else r = mid - 1;
    }
    cout<<r;
    return 0;
}

三、注意事项

  1. 效率优化：二分查找的时间复杂度是 O(log(max_x) * N)，其中 max_x 是可能的最大边长。

  2. 整数除法：在计算每块巧克力的正方形数量时，使用整数除法（//）来避免浮点误差。

四、总结

通过二分查找和验证函数的结合，我们能够高效地找到满足条件的最大正方形边长。这种方法适用于类似需要最大化某个整数的问题。

希望这篇题解对你有帮助！如果有任何疑问，欢迎随时交流。