[USACO25OPEN] Moo Decomposition G

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洛谷

题目大意

有一个用长度为\(n\)的字符串\(T\)重复\(L\)次得到的字符串\(S\)（保证只由字符M和字符O组成）

要将\(S\)分割成若干个子序列（不一定连续），每个子序列都是一个字符M和\(k\)个字符O组成，求方案数（保证有解）

对\(10^9+7\)取模

解决方法

显然有一种\(O(nL)\)暴力做法:

考虑从后往前枚举位置

记遇到字符O的数量为\(cnt\)，方案数为\(ans\)

如果遇到O，\(cnt=cnt+1\)

如果遇到M，\(ans\)会增加从\(cnt\)个中选\(k\)个的方案数，即\(ans=ans+C_{cnt}^{k}\)，从\(cnt\)个中选\(k\)个匹配，\(cnt=cnt-k\)

考虑如何优化

注意到\(L\)个\(T\)之间不会互相影响，就是不会出现前一节的M匹配上后一节的O

证明：因为题目保证\(S\)有解，所以设\(S\)中一共有\(c1\)个M，那么就会有\(k\times c1\)个O，又因为有\(n\times L\)个字符，所以有\(n\times L-c1\)个O，所以

\[\begin{split} k\times c1&=n\times L-c1\\ \left(k+1\right)\times c1&=n\times L \end{split} \]

因为\(S\)一定由\(L\)个\(T\)组成，设一个\(T\)里有\(M\)个M，那么就会有\(n-M\)个O

\[\begin{split} \frac{\left(k+1\right)\times c1}{L}&=\frac{n\times L}{L}\\ \left(k+1\right)\times M&=n\\ k\times M&=n-M \end{split} \]

同时保证\(S\)有解，因此最后一个\(T\)一定能恰好拼成若干个MOO，也就是说最后一个\(T\)是恰好用完的，同理，倒数第二个\(T\)一直到第一个\(T\)也都是恰好用完的，不会存在前一个\(T\)的M匹配上后一个\(T\)的O，证明完毕

也就是说，只要你求出一个\(T\)的方案数（记为\(ans\)），那么每一个\(T\)都是在\(ans\)种配对方案中选一个，那么总方案数就是\(ans^L\)（使用快速幂可以做到\(log_2L\)）

于是就能\(O(n+log_2L)\)求出答案了