图论 - 二分图

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• 二分图
  • 相关资料
• 二分图最大匹配
  • 图匹配
  • 增广路
  • 二分图最大匹配
    • 匈牙利算法(Hungarian Algorithm)
    • Hopcroft-Karp 算法
  • 模板题
    • 给定二分图左右部

二分图

二分图 ： 如果无向图 \(G = (V,E)\) 的所有点可以分为两个集合 \(V_1、 V_2\)，所有的边都在 \(V_1\) 和 \(V_2\) 之间，而\(V_1\) 和 \(V_2\) 的内部没有边，称 G 是一个二分图

性质：一个图是二分图当且仅当它没有边为奇数的环 - “奇环”。

可以利用染色法来判断一个图是不是二分图

相关资料

oi wiki - 二分图
dx123 - 二分图判定 染色法
图匹配
增广路
二分图最大匹配

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二分图最大匹配

图匹配

在图论中，假设图 \(G = (V,E)\)，其中 V 是点集，E 是边集。
一组两两没有公共点的边集 \((M(M\in E))\) 称为这张图的 匹配。
定义匹配的大小为其中边的数量 |M|，其中边数最大的 M 为 最大匹配。
当图中的边带权的时候，边权和最大的为 最大权匹配。
匹配中的边称为 匹配边，反之称为 未匹配边。
一个点如果属于 M 且为至多一条边的端点，称为 匹配点，反之称为 未匹配点。

• maximal matching：无法再增加匹配边的匹配。不见得是最大匹配。
• 最大匹配（maximum matching）：匹配数最多的匹配。
• 完美匹配（perfect matching）：所有点都属于匹配，同时也符合最大匹配。

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增广路

• 交错路（alternating path）始于非匹配点且由匹配边与非匹配边交错而成。
• 增广路（augmenting path）是始于非匹配点且终于非匹配点的交错路。
  增广路上非匹配边比匹配边数量多一，如果将匹配边改为未匹配边，反之亦然，则匹配大小会增加一且依然是交错路。

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二分图最大匹配

一张二分图上的匹配称作二分匹配
设 G 为二分图，若在 G 的子图 M 中，任意两条边都没有公共节点，那么称 M 为二分图 G 的一个匹配，且 M 的边数为匹配数。
寻找二分图边数最大的匹配称为最大匹配问题。

匈牙利算法(Hungarian Algorithm)

视频讲解：dx123 二分图最大匹配 匈牙利算法（包含下方洛谷模板题P3386 的讲解和一般二分图的最大匹配的代码）

基于贪心策略：当一个节点匹配后，可以因为找到增广路径而更换匹配对象，但是不会变回非匹配点
匈牙利算法的过程是，枚举每一个左部点 u ，然后枚举该左部点连出的边，对于一个出点 v，如果它没有被先前的左部点匹配，那么直接将 u 匹配 v，否则尝试让 v 的“原配”左部点去匹配其他右部点，如果“原配”匹配到了其他点，那么将 u 匹配 v，否则 u 失配。
其实就是：男女相亲，男选女，可占可让（提前是自己还有选择），贪心配对

Hopcroft-Karp 算法

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模板题

给定二分图左右部

• hdu 2063 过山车

给定了左右部
多组输入 + 注意数组下标！！！

//>>>Qiansui
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,y) memset(x, y, sizeof(x))
#define debug(x) cout << #x << " = " << x << '\n'
#define debug2(x,y) cout << #x << " = " << x << " " << #y << " = "<< y << '\n'
//#define int long long

using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<ull, ull> pull;
typedef pair<double, double> pdd;
/*

*/
const int maxm = 5e2 + 5, inf = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
int k, m, n;
vector<int> match;
vector<vector<int>> e;
vector<bool> vis;

bool dfs(int u){
	for(auto v : e[u]){
		if(vis[v]) continue;
		vis[v] = true;
		if(!match[v] || dfs(match[v])){
			match[v] = u;
			return true;
		}
	}
	return false;
}

void solve(){
	while(cin >> k){
		if(k == 0) break;
		cin >> m >> n;
		match = vector<int> (n + 1, 0);
		e = vector<vector<int>> (m + 1, vector<int>());
		for(int i = 1; i <= k; ++ i){
			int u, v;
			cin >> u >> v;
			e[u].push_back(v);
		}
		int ans = 0;
		for(int i = 1; i <= m; ++ i){
			vis = vector<bool> (n + 1, false);
			if(dfs(i)) ++ ans;
		}
		cout << ans << '\n';
	}
	return ;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	int _ = 1;
	// cin >> _;
	while(_ --){
		solve();
	}
	return 0;
}

• (极水) 洛谷 P3386 【模板】二分图最大匹配

给定了左右部
代码
匈牙利算法

//>>>Qiansui
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,y) memset(x, y, sizeof(x))
#define debug(x) cout << #x << " = " << x << '\n'
#define debug2(x,y) cout << #x << " = " << x << " " << #y << " = "<< y << '\n'
//#define int long long

using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<ull, ull> pull;
typedef pair<double, double> pdd;
/*

*/
const int maxm = 5e2 + 5, inf = 0x3f3f3f3f, mod = 998244353;
int n, m, q, ans;
vector<int> e[maxm], match(maxm, 0);
vector<bool> vis;

bool dfs(int u){
	for(auto v : e[u]){
		if(vis[v]) continue;
		vis[v] = true;
		if(!match[v] || dfs(match[v])){
			match[v] = u;
			return true;
		}
	}
	return false;
}

void solve(){
	cin >> n >> m >> q;
	for(int i = 0; i < q; ++ i){
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		e[u].push_back(v);
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		vis = vector<bool> (m + 1, false);
		if(dfs(i)) ++ ans;
	}
	cout << ans << '\n';
	return ;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	int _ = 1;
	// cin >> _;
	while(_ --){
		solve();
	}
	return 0;
}