记一种无需形式幂级数求逆的多点求值技巧

来自 https://judge.yosupo.jp/submission/16397

(我也不知道是谁发明的,似乎是论文哥?)

首先product tree部分不变

如果对 $dft$ 得到的点值求逆实际上是在对 $x^{lim}-1$ 取模的意义下求逆

在这个意义下也是可做的

首先判掉所求点值在 $dft$ 所用的单位根上的平凡情况(直接使用 $dft$ 结果即可)

这种情况下 $dft$ 的点值均非 $0$ (可逆)

而 $p$ 处点值即 $(1-p^{lim})f(p) = [x^{lim-1}] \dfrac{rev(f)}{1-px} \mod (x^{lim}-1)$

可分治求

这个做法需定位单位根，定位任意2^n次单位根在点值中的位置借助预处理好的单位根可做到 $O(2^n)$ 预处理后快速查询

可以在无需预处理的情况下 $O(n^2)$ 查询,做法可以自行思考.

这个可以推广到快速插值,不过较复杂,不一定还有实际优势.