Burnside引理初探

先在最开始把 \(\text{Burnside}\) 引理写出来：

\[|X\setminus G|=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X^g| \]

即，集合 \(X\) 在群 \(G\) 作用下的不同等价类的数目等于 \(G\) 中每个元素的不动点数的平均值。

下文若非特殊说明，都有 \(x\) 是 \(X\) 的元素，\(g\) 是 \(G\) 的元素。

令 \(X^g=\{x\in X|x=g(x)\}\)，\(G_x=\{g\in G|x=g(x)\}\)（鬼知道为什么一个上标一个下标），分别称为 \(g\) 的不动点与 \(x\) 的稳定子（即在 \(g\) 作用下不动的点 \(x\) 组成的集合与作用 \(x\) 稳定不变的置换 \(g\)）。

再约定 \(O_x\) 表示 \(x\) 的轨道，即 \(\{y\in X|y=g(x),g\in G\}\)，即 \(x\) 在 \(G\) 的所有置换作用后形成的 \(y\) 构成的集合。

那么有轨道-稳定子定理：\(|O_x|\times|G_x|=|G|\)。

为什么呢？

考虑 \(O_x\) 中的每个元素 \(y\)，则必定存在至少一个 \(g\in G\) 使得 \(y=g(x)\)。不妨设其中之一为 \(g_0\)，即 \(y=g_0(x)\)。

考虑 \(\sum\limits_{g\in G}[g(y)=x]\)。那么对于任意一个满足 \(g(y)=x\) 的 \(g\)，都有 \(g(g_0(x))=x\)，那么根据稳定子定义，有 \(g\circ g_0\in G_x\)。

而由于 \(g_0\) 是确定的，所以 \(\{g\in G|g(y)=x\}\) 可以和 \(G_x\) 建立一一对应关系。故 \(\sum\limits_{g\in G}[g(y)=x]=|G_x|\)。

再考虑 \(\sum\limits_{y\in O_x}\sum\limits_{g\in G}[g(y)=x]\)，一方面它等于 \(\sum\limits_{y\in O_x}|G_x|=|O_x|\times|G_x|\)，另一方面它等于 \(\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{y\in O_x}[g(y)=x]=\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{y\in O_x}[g^{-1}(x)=y]=\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{y\in O_x}[g(x)=y]=\sum\limits_{g\in G}1=|G|\)。故 \(|O_x|\times|G_x|=|G|\)。

然后轨道-稳定子定理就证明完毕了。

再考虑 \(S=\{(x,g)|g(x)=x\}\)，枚举 \(x\) 可得 \(|S|=\sum\limits_{x\in X}|G_x|\)，枚举 \(g\) 可得 \(|S|=\sum\limits_{g\in G}|X^g|\)。所以 \(\sum\limits_{g\in G}|X^g|=\sum\limits_{x\in X}|G_x|=\sum\limits_{x\in X}\dfrac{|G|}{|O_x|}=|G|\sum\limits_{x\in X}\dfrac1{|O_x|}=|G|\times|X\setminus G|\)。故 \(|X\setminus G|=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}|X^g|\)。

至于为什么 \(|X\setminus G|=\sum\limits_{x\in X}\dfrac1{|O_x|}\)，因为 \(X\) 被 \(G\) 划分成了若干个本质相同的等价类，其中每类的元素 \(x\) 的权值为 \(\dfrac1{|O_x|}\)，那么一个等价类里的元素权值之和 \(\dfrac{|O_x|}{|O_x|}=1\)，所以 \(\sum\limits_{x\in X}\dfrac1{|O_x|}\) 就是等价类的数量了。

\(\text{Burnside}\) 引理证毕。

现在让它带上权。设 \(w(x)\) 为 \(x\) 的权值，须满足对于两个等价的 \(x\) 和 \(y\) 有 \(w(x)=w(y)\)。那么可以发现一个等价类里面的元素权值都相同。故设一条轨道的权值 \(w(O_x)=w(x)\)。

我们关心的现在不仅仅是等价类的数目了，进而计算等价类的权值之和。其实，求数目就单纯地令 \(w(x)=1\) 即可。

我们改写一下最后几步：\(\sum\limits_{x\in X}\dfrac1{|O_x|}\) 求的是数目，那么 \(\sum\limits_{x\in X}\dfrac{w(x)}{|O_x|}\) 求的就是权值和了。

故 \(|G|\sum\limits_{x\in X}\dfrac{w(x)}{|O_x|}=\sum\limits_{x\in X}\dfrac{w(x)|G|}{|O_x|}=\sum\limits_{x\in X}w(x)\times|G_x|\)。

继续往前推：\(\sum\limits_{x\in X}w(x)\times|G_x|=\sum\limits_{x\in X}w(x)\times\sum\limits_{g\in G}[g(x)=x]=\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{x\in X}w(x)[g(x)=x]\)

即原来我们关心的是 \(|X^g|\)，即 \(g\) 的不动点个数，现在变成了 \(\sum\limits_{x\in X}w(x)[g(x)=x]=\sum\limits_{x\in X^g}w(x)\)，即 \(g\) 的不动点权值之和。那么带权形式的 \(\text{Burnside}\) 引理就是：

\[\sum\limits_{O\in X\setminus G}w(O)=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{x\in X^g}w(x) \]

即，等价类的权值之和为所有置换的不动点权值和的平均值。