费用流对偶问题

费用流对偶问题

考虑一般的费用流问题：

1. \(uv\)的流量为\(c_{uv}\)
2. \(uv\)的代价为\(w_{uv}\)
3. \(out_u-in_u=b_u\)

费用流表示成线性规划就是：

\[\min\{\sum_{uv}w_{uv}f_{uv}\}\\ s.t.\\ 1. f_{uv}\leq c_{uv}\Leftrightarrow -f_{uv}\geq-c_{uv}\\ 2. \sum f_{uv}-\sum f_{vu}=b_u\\ 3. f_{uv}\geq0 \]

由于是最小费用流，\(\sum f_{uv}-\sum f_{vu}=b_u\)这个限制实际上可以描述成\(\sum f_{uv}-\sum f_{vu}\geq b_u\)。

考虑对于限制\(1\)的对偶变量为\(z_{u,v}\),限制2的对偶变量为\(p_u\)。

则对偶问题为：

\[\max\{\sum-c_{uv}z_{uv}+\sum p_ub_u\}\\ s.t.\\ z_{uv},p_u\geq0\\ z_{uv}\geq -w_{uv}+p_u-p_v\\ \]

可以令\(z=\max(0,-w_{uv}+p_u-p_v)\),时目标函数取到最大值。

即转变成了如下问题：

\[\max\{\sum-c_{uv}\max(0,p_{u}-p_v-w_{uv})+\sum b_up_u\} \]

其中\(c_{uv},w_{uv},b_u\)为原费用流中变量，\(p_u\)为需要求出的变量。

这样就可以转变成费用流问题解决。