[JOISC 2022] Sugar and Ants

Tag: Hall 定理，线段树（ddp？）

这种吊题是人类能想出来的吗。

首先题目可以转成二分图匹配的形式：给定左部点集合 \(S\) ，右部点集合 \(T\) ，每个左部点 \(p\) 可以匹配范围为 \([p-L,p+L]\) 的右部点。每次操作会指定一个左部点或右部点，将其权值加一个正数。问每次操作后的最大匹配数。

方便起见，我们对所有操作离散化，并约定总点数 \(n = Q\) 。

\(O(n^2\sqrt{n})\) 的 dinic 做法就不说了。

首先你需要知道 Hall 定理的一个推论：对于由集合 \(S\) ，\(T\) 组成的二分图，其最大匹配为 $$|S| - \sum\limits_{V \subseteq S} \max(|V| - |N(V)|)$$ 。

假设坐标集合 \(P\) 覆盖的全部左部点构成子集 \(V\) 。我们考察集合 \(P\) ，做一些基础观察。

$\mathrm{Observation ; 1:} $ \(P\) 由若干相邻距离大于 \(2L\) 的区间构成。

证明是容易的。如果存在两个相邻区间的距离 \(\le 2L\) ，那么把这两个区间之间的所有点都选中只会让 \(|V|\) 增大，是一定不劣的。

设位置 \(i\) 的左部点权值为 \(a_{i}\) ，右部点的权值为 \(b_{i}\) 。借助于这个观察，不难写出 \(\max(|V| - |N(V)|)\) 的形式化表达：

\[\sum_{i} (\sum_{j \in [l_{i},r_{i}]} a_{j} - \sum_{j\in [l_{i} - L,r_{i} + L]} b_{j}) \]

其中 \([l_{i},r_{i}]\) 表示坐标集合 \(P\) 包含的区间。

上面的式子仍然不好求最大值。稍作转换，设 \(A_{i},B_{i}\) 为 \(a,b\) 的前缀和，对上面的式子做差分：

\[\sum_{i} (A_{r_{i}} - A_{l_{i}-1} - B_{r_{i}+L} + B_{l_{i}-L-1}) \]

发现一个点充当区间端点时，贡献的形式是固定的：对于点 \(i\) ，充当左端点的贡献为 \(B_{i-L-1}-A_{i-1}\) ，右端点的贡献为 \(A_{i} - B_{i+L}\) 。问题转化为选取若干位置，让其交替成为左右端点且相邻点距离大于 \(2L\) ，求上式的最大值。

要实现区间查和单点加，考虑线段树维护上述信息。设 \(f_{0/1,0/1}\) 表示区间最左端/最右端的节点作为左端点/右端点时的最大值。修改一个点的点权等价于修改往后所有点的前缀和。由于单次修改带来的影响只依赖于两种端点的数量差，因此这样维护可以包含区间内部的全部信息。

刻画一下操作带来的影响：

• 对编号为 \(x\) 的左部点权值加 \(y\) ：其等价于将 \([x,n]\) 的 \(A\) 全部加 \(y\) ，其会使 \((x,n]\) 内的左端点 \(-y\) ，\([x,n]\) 内的右端点 \(+y\) 。这一部分只需要维护 \(f_{0,0}\) ,\(f_{1,1}\) 的区间加就可以，因为剩余状态的贡献会抵消。

• 对编号为 \(x\) 的右部点权值加 \(y\) ：有一段后缀的维护与上面类似，还有一个维护是对于 \([x-L,x+L]\) 内的所有右端点要 \(-y\) 。发现区间长度小于 \(2L\) ，理论上区间内部最多只会有一个区间，于是退化成关于 \(f_{0,0},f_{1,1},f_{0,1}\) 的单点修。区间打标记即可。

离散化以后维护上述操作，时间复杂度 \(O(Q\log Q)\) 。