2026.9.15 闲话：关于另一个特殊的数

大前提：作者未接受系统高等数学学习，只会最最基本的极限。

证明方法无参考别人的证法，所以出现错误欢迎指出，也就是这个证法不保证对。

是不是不该继续不务正业了（逃）

Part.1 偶然

小道消息得到了某个级数和 \(\pi\) 拥有深刻的联系，这个级数就是：

\[\sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{1}{i^2}} \]

好吧，还是先给出结论吧：

\[\sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{1}{i^2}}=\frac{\pi^2}{6} \]

你很可能已经知道这个的证明方法了，但如果你不知道，那太好了，我也不知道。

现在就从起点开始证明它吧。

Part.2 必然

或许感觉到这个级数和 \(\pi\) 是有关系的便是最大的突破。

我们知道 \(\pi\) 最方便出现的地方就是圆和三角函数，而三角函数恰可以展开为级数形式，或许这是一个重要的突破口。

一个极为简单的思路一定是找到 \(\arcsin\) 之类的级数形式展开，但是这似乎并不好找，而且极度缺乏美感。

那就从脍炙人口的那些泰勒展开入手吧。

\[\sin(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}(-1)^{i}} \]

\[\cos(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{x^{2i}}{(2i)!}(-1)^{i+1}} \]

有点一头雾水，这或许和我们要证明的式子毫无关系，到这里似乎只能对着它发呆了......

现在来进行一步完全没用的操作，我们都知道 \(\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)\)，这是否会有很强的性质呢？

这个其实最终会推向 \(\sin(\frac{\pi}{2})=1\)，具体推导过程留给读者了。

这一步完全没用的操作有什么用呢？所谓“无用之用，方为大用”，这或许揭示了一个美妙的事情，也许我们需要从 \(\sin\) 本身的性质进行入手。

注意到 \(\sin(k\pi)=0\)，其中 \(k\in \mathbb{Z}\)。

也就是：

\[\sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{(k\pi)^{2i+1}}{(2i+1)!}(-1)^{i}}=0 \]

一个被神童竞相背诵的超越数，竟然在一个全是有理数系数的级数中算出了 \(0\) 的结果，也许这就暗示了只有满足一定特殊的有理计算方式，才会是这个超越数 \(\pi\)。

事情进展到这一步似乎继续停滞了，我们发现了 \(\pi\) 新的秘密，但却无法继续推进了，但也许秘密早已名牌。

为什么 \(k\pi\) 会是这个级数的零点呢？

想到这个问题，与其解决，不如想“零点为什么会是 \(k\pi\) 呢”。

好，为了解决这个问题，不如我们主动构造一个函数，使得我们的思考是显而易见的。

首先肯定想到了这个函数（未考虑负数）：

\[x\prod_{k=0}^{+\infty}{(k\pi-x)} \]

但是代入非零点值这个函数会变成无穷大，这是极其难受的，这个函数根本就不会是 \(\sin(x)\)，那怎么办，注意到以下函数：

\[x\prod_{k=0}^{+\infty}{(1-\frac{x}{k\pi})} \]

这样在 \(k\) 足够大的情况下，\((1-\frac{x}{k\pi})\leq 1\)，于是函数值是收敛的。

等等！我们还没有考虑负数呢！

好问题，不过根据 \(\sin(x)\) 泰勒展开的启示，所有的偶次项都没有系数，所以解决方法显而易见咯。

\[x\prod_{k=0}^{+\infty}{[1-(\frac{x}{k\pi})^2]} \]

现在我们思考一下这两个函数之间的关系，先看项数，两个项数是等价无穷大，再看零点数量，和项数均是等价无穷大，那么由于一个多项式的因式分解本质是唯一的，而因式分解的本质便是基于零点的，现在我们分解的因式和级数的零点和项数全都相同，两函数似乎是相等的了！

为确保完全一致，手动展开一下 \([x^1]\)，都是 \(1\)，太好了，是完全一致的。

故而有：

\[\sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}(-1)^{i}}=x\prod_{k=0}^{+\infty}{[1-(\frac{x}{k\pi})^2]} \]

神奇的事情发生了，我们成功的将零点和这个级数联系了起来，这个式子解释了为什么 \(k\pi\) 是零点，接下来便要解释为什么零点是 \(k\pi\)。

提取 \(x^3\) 系数，等式右边等价于任意一项选 \((\frac{x}{k\pi})^2\)，其余均为 \(1\)，故可得：

\[-\frac{1}{6}=\sum_{k=0}^{+\infty}{-\frac{1}{k^2\pi^2}} \]

现在到我证了.jpg

稍微改改就获得了：

\[\sum_{i=0}^{+\infty}{\frac{1}{i^2}}=\frac{\pi^2}{6} \]

至此便解决了困扰我们整整一节课的问题。