2026.9.14 闲话：关于一个特殊的数

大前提：作者未接受系统高等数学学习，只会最最最基本的极限。

证明方法无参考别人的证法，所以出现错误欢迎指出，也就是这个证法不保证对。

Part.1 发现

假设你在闲暇之余获得了一个级数：

\[\sum_{i = 0}^{+\infty}{\frac{x^i}{i!}} \]

众所周知的是这个级数为 \(e^x\) 的展开。

而你一段时间后偶然又获得了一个极限：

\[\lim_{x\to+\infty}{(1 + \frac{1}{x})^x} \]

又众所周知这个等于一个特殊的不是 \(1\) 数。

但你想知道为什么这个极限会是一个特殊的数，并进行了发现了一些性质，正在没有头绪的时候，你突然想起来了，这个特殊的数就是 \(e\)，于是你发现了：

\[\sum_{i = 0}^{+\infty}{\frac{1}{i!}} = \lim_{x\to+\infty}{(1 + \frac{1}{x})^x} \]

这有什么用啊？

凭眼力来看，就能不严谨的指出 \((e^x)^{'}=e^x\)，足以可见 \(e\) 是极其重要的，但获得了一个收敛不是很快的级数，似乎已经足够解决许多事情了。

但此时有人告诉了你，一个神秘的极限也等于这个有意思的数 \(e\)，看起来这个 \(e\) 还可以绽放更大的价值。

但是还是没有人告诉你怎么证呢。

Part.2 找寻

一些有趣的性质

那么怎么证呢？

以你现在的水平，似乎只会一些最基本的极限，稍微加点东西就看不懂了，更何况是证明这个似乎毫不相关的东西。

由于等式左边为一个级数，所以似乎向数列极限上面发展更有前途。

所以现在转向数列极限：

现有 \({a_n}\), \({b_n}\)，且满足：

\[a_n = \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!} \]

\[b_n = (1+\frac{1}{n})^n \]

那么需证明 \({a_n}\), \({b_n}\) 在 \(n \to +\infty\) 时极限相同。

现在接续上面的顺序，先来挖掘一下 \({b_n}\) 的性质。

算出几项发现是单调递增的，这对于求极限来说是不错的消息，至少说明是一个结构较为简单的函数。

现在来严格证明一下：

对于任何 \(n\in \N^{+}\)，都有：

\[(1+\frac{1}{n})^{n} \leq (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \]

即证：

\[(n+1)^{2n+1}\leq (n+2)^{n+1}n^n \]

暴力展开得到：

\[\sum_{i=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{i}n^i\leq \sum_{i=0}^{n+1}{\binom{n+1}{i}2^{n+1-i}n^{n+i}} \]

这个有兴趣的可以试试，我反正没证出来呜呜呜。

换一条路线吧，证单调性还是求导方便。

取个 \(\ln\) 在求导吧，等等，\(\ln\) 能用吗？有一种 \(\ln\) 导数的推法是基于这个极限的。

不过直接用反函数求导就好啦，同样可以得到 \(\ln\) 的导数。

\[[n\ln{(1+\frac{1}{n})}]'= -\frac{1}{n+1}+\ln(\frac{n+1}{n}) \]

这个化简出来是个极其反直觉的不等式：

\[e^{\frac{1}{n+1}}\leq 1+\frac{1}{n} \]

代入 \(n=1\) 成立，两边求导得到：

\[e^{\frac{1}{n+1}}\frac{-1}{(n+1)^2} \]

和：

\[-\frac{1}{n^2} \]

假设我们能求出 \(-\frac{1}{n^2} \le e^{\frac{1}{n+1}}\frac{-1}{(n+1)^2}\)，那么如果这两个函数首尾都满足这个不等式就可以证出来了，此时整理这个不等式在进一步求导就可以得到：

\[2(1+\frac{1}{n})\frac{-1}{n^2}\leq -e^{\frac{1}{n+1}} \]

这个是可以证明的，而上面提到的两个需要证明的函数都用了同一种方法。

现在求一下 \(\lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{\frac{1}{n+1}}}{1+\frac{1}{n}}}\) 可以得到是趋向于 \(1\) 的，也就是这两个函数其实是越来越近的。

由于大的函数下降的快，那么加入出现了大的函数跑到下面去，那么它们就会越来越远离，这与已知矛盾，所以这个不等式就是成立的了。

全部推回去，最终获得了这个函数是单调递增的。

是不是证的太太太唐了。

主体

关于那个级数为何收敛相信大家是都会的，可以很容易的证明其小于 \(3\)，这个后面要用。

现在我们发现了 \({b_n}\) 的重要特性就是其是单调递增的，那么来看一下这两个数列之间的关系，最好将两个数列的形式统一化。

\[{(1+\frac{1}{n})}^n = \sum_{i=0}^{n}{\binom{n}{i}\frac{1}{n^i}} = \sum_{i=0}^{n}{\frac{n!}{i!(n-i)!}\frac{1}{n^i}} \]

此时注意到一个有趣的事情，\(\frac{n!}{n^i(n-i)!} \leq 1\)，因为 \(\frac{n!}{(n-i)!}\) 其实是从 \(n\) 向前乘上 \(i\) 个数，自然比全部都是 \(n\) 相乘小喽。

现在得到了一个极其好玩的东西：

\[(1+\frac{1}{n})^n\leq \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}} \]

那现在一个常见的思路就是夹逼准则了，不过这个下界函数似乎完全不好找（我放缩了好半天也没发现呜呜呜）

还是寄希望于作差证明差值趋于 \(0\) 吧。

现在要证明这个是无穷小：

\[\sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}-\frac{n!}{i!(n-i)!}\frac{1}{n^i}} \]

那么现在是愉快推式子时间。

令 \(\frac{n!}{(n-i)!}=\sum_{j=0}^{i}{f_jn^j}\) 其中 \(f_j\) 与 \(i\) 相关，并且有 \(f_i = 1\)。

\( \begin{aligned} (\sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}})-(1+\frac{1}{n})^n &= \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}-\frac{n!}{i!(n-i)!}\frac{1}{n^i}} \\ &= \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}(1-\frac{n!}{(n-i)!}\frac{1}{n^i})} \\ &= \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}(1-\frac{\sum_{j=0}^{i}{f_jn^j}}{n^i})} \\ &= \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}(\frac{\sum_{j=0}^{i-1}{-f_jn^j}}{n^i})} \\ &\le \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}(\frac{\sum_{j=0}^{i-1}{|f_j|n^j}}{n^i})} \end{aligned} \)

到这里放缩了一步，由于正负交替实在是不好处理，直接放缩到全是正的，接下来似乎没有了头绪，现在让我们转战组合数学。

现有 \((n-0)(n-1)(n-2)\dots (n-(i-1))\) 那么 \(f_j\) 是不是就应该是从这里面选出 \(j\) 个常数乘起来在求和，并且不能取到最开头的 \(0\)，此时我们假设所有的都变成取到那最大的 \(j\) 个相乘，进行一步放缩：

\[\sum_{j=0}^{i-1}{|f_j|n^j}\leq \sum_{j=1}^{i-1}{\binom{i - 1}{j}n^{i - j}\frac{(i-1)!}{(i-1-j)!}} \]

有了这个重要的放缩，继续快乐推式子：

\( \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}(\frac{\sum_{j=0}^{i-1}{|f_j|n^j}}{n^i})} &\leq \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}(\frac{\sum_{j=1}^{i-1}{\binom{i - 1}{j}n^{i - j}\frac{(i-1)!}{(i-1-j)!}}}{n^i})}\\ &=\sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}({\sum_{j=1}^{i-1}{\frac{\binom{i - 1}{j}(i-1)!}{n^j(i-1-j)!}}})}\\ &=\sum_{i=0}^{n}{{\sum_{j=1}^{i-1}{\frac{(i-1)!}{j!n^j[(i-1-j)!]^2i}}}}\\ &\leq \sum_{i=0}^{n}{{\sum_{j=1}^{i-1}{\frac{(i-2)!}{j!n^j[(i-1-j)!]^2}}}}\\ &=\sum_{i=0}^{n}{{\sum_{j=1}^{i-1}{\frac{(i-2)!}{(i-1-j)!n^{j-1}}\frac{1}{j!n(i-1-j)!}}}} \\ &\leq \sum_{i=0}^{n}{{\sum_{j=1}^{i-1}{\frac{1}{j!n(i-1-j)!}}}}\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}{{\sum_{j=1}^{i-1}{\frac{1}{j!(i-1-j)!}}}}\\ &\leq\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}{{\sum_{j=0}^{n}{\frac{1}{j!i!}}}}\\ &=\frac{1}{n}(\sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}})^2\\ &\leq\frac{9}{n}\\ Q.E.D. \end{aligned} \)

于是我们得到了：

\[(\sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}})-(1+\frac{1}{n})^n\leq \frac{9}{n} \]

至此，得到了两个数列的差值趋于零，得到了：

\[\lim_{x\to +\infty}{(1+\frac{1}{x})}^x=\sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{1}{n!}} \]