题解：P1962 斐波那契数列

题目大意

求斐波那契额数列的第 \(n\) 项。

做法

我们看到数据范围就会知道：不可以用递推。

此时我们可以使用矩阵来加速！

想到下面这个式子：

\[\begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2} \end{bmatrix} A \]

这个矩阵 \(A\) 是多少行多少列的呢？抽象一下式子：

\[A_{1\times 2} = B_{1\times 2}\times C_{x\times y} \]

这下很容易得出，\(x=2\) 且 \(y=2\)。那么再根据 \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)，可以得出：

\[A=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

朋友，有没有考虑 \(n\leq2\) 的时候？设 \(\begin{bmatrix} F_2 \\ F_1 \end{bmatrix} = B\)，易得 \(B=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)，进一步得到结论：

\[\begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-2} \]

直接暴力算这个 \(\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-2}\) 肯定会 TLE，所以可以使用矩阵快速幂加速。

AC 代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=100+5;
const int p=1e9+7;
int n,k;
struct det{
	int a[N][N];
	det(){
		memset(a,0,sizeof a);
	}
	friend det operator * (det a,det b)
	{
		det c;
		for(int i=1; i<=n; i++)
		{
			for(int j=1; j<=n; j++)
			{
				for(int k=1; k<=n; k++)
				{
					c.a[i][j]=0;
				}
			}
		}
		for(int i=1; i<=n; i++)
		{
			for(int j=1; j<=n; j++)
			{
				for(int k=1; k<=n; k++)
				{
					c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
					c.a[i][j]%=p;
				}
			}
		}
		return c;
	}
	
}a,b,c,d,e;

det qpow(det a,int b)
{
	det result;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		result.a[i][i]=1;
	}
	while(b>0)
	{
		if(b&1)
		{
			result=result*a;
		}
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return result;
}
int m;
signed main()
{
	cin>>m;
	n=2;
	a.a[1][1]=a.a[1][2]=a.a[2][1]=1;
	a.a[2][2]=0;
	c=qpow(a,m-2);
	cout<<(c.a[1][1]+c.a[1][2])%p;
	return 0;
}