April Fools' Problem (medium) 题解

传送门

首先尝试贪心，但是发现贪心会假，再尝试 dp，但发现 dp 有后效性，于是尝试万能算法网络流。

首先有一种很显然的连边方式：

将 \(a_i\) 和 \(b_i\) 分开排列，将源点连向所有 \(a_i\)，容量 \(1\) 代表每个 \(a_i\) 只能选一次，费用 \(a_i\)，将每个 \(a_i\) 连向每一个 \(b_j,j\ge i\)，容量 \(1\)，费用 \(0\)。再将每个 \(b_j\) 连向汇点。

但是显然这样不能满足只选 \(k\) 个数，所以我们将汇点拆点为 \(t_0\) 和 \(t\)，将所有的 \(b_j\) 连向 \(t_0\)，再将 \(t_0\) 连向 \(t\)，费用 \(0\) 容量 \(k\) 以满足选数的个数限制。

但是此时复杂度又超了！

仔细观察发现其实我们将 \(a_i\) 连向每个 \(b_j\) 的实质是让源点向 \(a_i\) 连的边与 \(b_j\) 连的边连通以达到选每个数的目的，但其实完全没必要，我们可以把所有的 \(a\) 和 \(b\) 缩成一个点 \(i\)。将源点向每个 \(i\) 连边，费用 \(a_i\) 容量 \(1\)，将每个 \(i\) 向 \(t_0\) 连费用 \(b_i\) 容量 \(1\) 的边，最后将每一个 \(i\in[1,n)\) 向 \(i+1\) 连费用 \(0\) 容量 \(1\) 的边代表我可以选所有比当前 \(i\) 更大的 \(i+x\)。