P4142 洞穴遇险 题解

传送门

主要思想：拆点，黑白染色。

首先能想到的是只在 \(x+y\) 为奇数的格子上放柱子，原因显然。

接下来转化题意：求最小不稳定数不就是求放柱子能减少的最大不稳定数，于是我们现在着力解决放柱子能减少的最大不稳定数。

题目已经暗示我们要黑白染色，于是网格点被染为两类： \(x+y\) 为奇数（我们称为黑点）和 \(x+y\) 为偶数（我们称为白点）。

于是想到一个错误但能为正解提供思路的想法：

• 我们考虑类似二分图匹配的方式：因为每个偶数格子只能被选一次，所以将源点向每个黑点连边。在将每个能放柱子的黑点向每个与他相邻白点连边，再将每个白点向汇点连边。但是因为每个黑点上的柱子只会占用他相邻的两个柱子，所以将黑点拆点作为入点和出点，将黑点的入点与出点之间连容量为 \(2\) 的边代表每个黑点只会占用他相邻的两个白点。

这个做法看似很对，但是有个很显然的问题：无法保证它占用的连个白点位置是否满足形状要求，于是这个做法陷入僵局了。

但我们只需要在此基础上满足最后图形形状限制就好了，怎么做呢？

既然我们将黑点拆点满足了黑点只能占两个白点的限制，那我们考虑用类似的方法也满足白点限制就行了。但显然拆点是无能为力了，观察到每个黑点只会占用相邻的两个处于不同奇偶性列数的白点，于是我们试试黑白染色：我们再将处于奇数列白点染为灰色，否则仍为白点。

这时我们可以将灰点连向黑点，再将黑点连向白点，容量为 \(1\)。只不过此时我们黑点入点与出点之间的边容量需要改为 \(1\)；将源点向汇点连边，将白点向汇点连边。

总结：

1. 将源点向每个灰点连费用 \(0\) 容量 \(1\) 的边代表每个灰点只能选一次。

2. 将灰点向他每个相邻的黑点的入点连费用 \(0\) 容量 \(1\) 的边代表每个灰点只能匹配一个黑点。

3. 将黑点的入点和出点之间连费用 \(w_{x,y}\) 容量 \(1\) 的边代表每个黑点只能选一次且费用为该点权值（\((x,y)\) 为该点坐标）。

4. 将黑点出点向他每个相邻的白点连费用 \(0\) 容量 \(1\) 的边代表每个黑点只会占用一个白点。

5. 最后将白点向汇点连费用 \(0\) 容量 \(1\) 的边代表每个白点只选一次。

以上连边均不包含已经坍塌的点。