组合数学 学习笔记

一

对于 \(C(n,m)\)，可以放在杨辉三角里进行解决。

结论：\(C(i,j)\) 即为对应杨辉三角里坐标 \(i,j\) 的坐标，有 \(C(i,j)=C(i-1,j-1)+C(i-1,j)\)。

例题：P2822 组合数问题

二

Prufer序列

• 简介：一颗无根树，每次将度数为1的节点的父亲加入序列，并将其删除，最终得到一个长度为 \(n-2\) 的序列。

• 将Prufer序列转化为无根树：每次取出序列中最前面的数，将一个在点集中且最小的数与其连边，最后将序列最靠前的数和刚刚在点集中取出的数在分别在序列和点集中删去。最后将剩下的两个未连边的点连边即可。

• Prufer序列性质：

• 序列与无根树一一对应。

• 度数为 \(d_i\) 的节点只会在序列中出现 \(d_i-1\) 次。

• 生成 \(n\) 节点的完全图（树）有 \(n^{n-2}\) 种（Cayley定理）。

• 生成每一种树的方式有 \((n-1)!\) 种（Cayley定理）。

• 对于给定度数 \(d_{ 1-n}\) 的 \(n\) 个节点，共有 $\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n} (d_i-1)!} $ 种形成树的方式（其中 \(n-2\) 的本质是 \({\textstyle \sum_{i=1}^{n}(d_i-1)}=n-2\)）。

辅助做题结论：对于 \(n\) 个结点形成的树，$ {\textstyle \sum_{i=1}^{n}(d_i-1)}=n-2 $。

例题：P2290 树的计数 P4430 小猴打架 P2624 明明的烦恼 P4981 父子