UVA10288题解

题目中让我们求集齐全部图案的期望次数。

提供两种思路：

Solution one：

一个结论：若一个事件的概率为 \(\frac{n-i}{n}\)，那么其期望值为 \(\frac{n}{n-i}\)。

所以题目可以理解为在选出 \(i-1\) 种不同图案的情况下选出 \(i\) 种图案的期望值，\(i=n\) 时为答案，即 \(\sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n-i+1}\)。

Solution two：

设 $f_{i} $ 为已选出 \(i\) 种不同图案，剩下仍需选择的次数的期望值，那么 $f_{i} $ 既可由 $f_{i} $ 转移过来，即再选一次仍选中了已有的图案，那么显然转移方程为 $x=\frac{i}{n}\times (f_{i}+1) $，（其中 \(x\) 为选择期望次数，下同。）；同时 $f_{i} $ 又可由 $f_{i+1} $ 转移过来，即再选一次选择了不同图案，转移方程为 $x=\frac{n-i}{n}\times (f_{i+1}+1) $。

总状态转移方程即为：\(f_{i}=\frac{i}{n}\times (f_{i}+1) +\frac{n-i}{n}\times (f_{i+1}+1)\)。