CF653F Paper task

题面
英文题面
题意：给定一个长度为\(n\)的括号串，问有多少种不同的合法括号子串。
\(n \leq 5\times 10^5\)
题解：
先考虑暴力的做法:枚举左端点，然后每次扫一遍，有括号平衡就将其加入答案，再用哈希+map判一下重。
再考虑不需要去重时的快速做法。
令\(s_i\)表示前\(i\)个字符，左括号个数与右括号个数的差。发现当固定左端点\(l\)时，合法的右端点\(r\)需要满足：
1.\(s_l = s_r\)
2.\(\forall_{i=l}^{r} , s_i \geq s_l\)
所以我们开一个树状数组记一下权值，枚举左端点，二分出满足第二个限制的最大的\(r\)，在树状数组上查询即可。
二分的check可以用rmq做到O(1)查询。
那么如何去重呢？考虑后缀数组的height数组的意义，不难发现对于每个\(l\)，答案只需要减去\(r\)在\([l,l+height_{rank_l}-1]\)这段的贡献即可。
时间复杂度:\(O(nlogn)\)
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define F(x,y,z) for(re x=y;x<=z;x++)
#define FOR(x,y,z) for(re x=y;x>=z;x--)
typedef long long ll;
#define I inline void
#define IN inline int
char c[505000];
int n,m,buc[505000],sa[505000],tot,rk[505000],tp[505000],hei[505000];
int s[505000],f[505000][22],lg[505000];
vector<int>st[1010000];
ll ans;
I build_sa(){
	m=2;
	F(i,1,n)buc[rk[i]=(c[i]=='('?1:2)]++;
	F(i,1,m)buc[i]+=buc[i-1];
	FOR(i,n,1)sa[buc[rk[i]]--]=i;
	for(re k=1;k<=n;k<<=1){
		tot=0;
		F(i,n-k+1,n)tp[++tot]=i;
		F(i,1,n)if(sa[i]>k)tp[++tot]=sa[i]-k;
		F(i,1,m)buc[i]=0;
		F(i,1,n)buc[rk[i]]++;
		F(i,1,m)buc[i]+=buc[i-1];
		FOR(i,n,1)sa[buc[rk[tp[i]]]--]=tp[i],tp[i]=0;
		swap(rk,tp);
		rk[sa[1]]=tot=1;
		F(i,2,n)rk[sa[i]]=(tp[sa[i-1]]==tp[sa[i]]&&tp[sa[i-1]+k]==tp[sa[i]+k])?tot:++tot;
		if(tot==n)break;
		m=tot;
	}
	re k=0;
	F(i,1,n){
		if(rk[i]==1)continue;
		if(k)k--;
		re p=sa[rk[i]-1];
		while(c[i+k]==c[p+k])k++;
		hei[rk[i]]=k;
	}
//	F(i,1,n)cout<<sa[i]<<" ";cout<<endl;
//	F(i,1,n)cout<<rk[i]<<" ";cout<<endl;
//	F(i,1,n)cout<<hei[i]<<" ";cout<<endl;
}
I build_rmq(){
	F(i,1,n)s[i]=s[i-1]+(c[i]=='('?1:-1);
	F(i,0,n<<1)st[i].emplace_back(0);
	F(i,1,n)s[i]+=n,st[s[i]].emplace_back(i);s[0]=n;
	lg[0]=-1;F(i,1,n)lg[i]=lg[i>>1]+1,f[i][0]=s[i];
	F(j,1,lg[n])F(i,1,n-(1<<j)+1)f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
IN ques_min(int l,int r){
	re len=lg[r-l+1];
	return min(f[l][len],f[r-(1<<len)+1][len]);
}
IN ques(int l,int r){
	if(l>=r||c[l]==')')return 0;
	re x=l,y=r,mid,w=s[l-1],res;
	while(x!=y){
		mid=(x+y+1)>>1;
		if(ques_min(l,mid)>=w)x=mid;
		else y=mid-1;
//		cout<<x<<" "<<y<<endl;
	}
//	cout<<w<<":";
//	for(auto d:st[w])cout<<d<<" ";cout<<endl;
	res=(upper_bound(st[w].begin(),st[w].end(),x)-st[w].begin())-(upper_bound(st[w].begin(),st[w].end(),l-1)-st[w].begin());
//	cout<<"!"<<l<<" "<<r<<" "<<x<<" "<<w<<" "<<upper_bound(st[w].begin(),st[w].end(),x)-st[w].begin()<<" "<<res<<endl;
	return res;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
	cin>>n>>c+1;
	build_sa();build_rmq();
//	while(1){
//		int l,r;cin>>l>>r;cout<<ques_min(l,r)<<endl;
//	}
	F(i,1,n)ans+=ques(sa[i],n)-ques(sa[i],sa[i]+hei[i]-1);
	cout<<ans;
	return 0;
}