n个平面最多把一个空间拆成多少个区域

n条直线最多把一个平面拆成1+(n+1)*n/2个区域，
请问：n个平面最多把一个空间拆成多少个区域？(n>=0)

这个问题我想了挺久，后来有在网上搜，并且也搜到了很详细的解答，但是没有看，我还是希望能自己想出来（其实是觉得看那

么多字很烦:-P）。终于在一个漆黑的夜晚灵光一现，地球爆炸了。:)
答案是什么并不重要，重要的是过程。

首先来看n条直线最多能把一个平面拆成多少个区域这个问题。
这个二维的问题是很形象很直观的，我们可以数出来。

直线数 平面区域数
1 2
2 4
3 7
4 11
5 16

6条就比较难数了，不过从前5条对应的平面区域数能很容易看出来这是个一阶等差数列，很容易就能推导出题目中给的公式了。
那么，n个平面拆空间的数目也可以这样数吗？
很遗憾的是，本人三维空间的想象力似乎比二维差很多，四个平面的时候还能凑合着数出来，5个的时候就彻底晕菜了，而仅仅

从前四个数据找规律是很不妥当的，况且规律并不像上面的问题那么轻易就能用眼睛看出来。
于是我又重新回顾直线分平面的过程，用更理性的方法分析我是怎样得到的结果，而不是凭空想象。

如图
当我们知道了3条直线能把平面分成7个区域的时候，添加第4条直线，那么这条直线必须和另外3条直线都相交才能得到“最多”
把平面分成多少个区域。于是，这3个交点把这条直线分成了4部分，或是线段或是射线，每一部分都将原有的整块区域分成了两
块区域，则新增了4个区域，新增的区域数与直线被分成了几段有关。也就是说，如果我们用a（3）来表示3条直线能分平面的区
域数，a（4）就等于a（3）+4。同理，a（5） = a（4）+5，an = a（n-1）+n = a（n-2）+（n-1）+n = …… = a（1）+2+3+4+
……+n = （n+1）×n/2+1。
那，当我们知道n个平面把空间分成多少区域的时候，能不能推出n+1个平面的情况呢？（忽然觉得这好像数学归纳法哎）
我们来看添加第4个平面的情况。
3个平面分多少区域的问题好象是小学某一年暑假园地的题目:-P，三刀最多能把西瓜切成几块，很简单，8块。
添加第4个平面，这个平面要与其余3个平面都相交，而且不能三个平面交于同一条直线，才能得到“最多”把空间分成多少区域

。所以，第4个平面应该和前3个平面构成一个四面体（三棱锥）。那么，这是多少区域呢？。。似乎有点难数，虽然努力一下可

以数出来，但是没有必要。我们来看这个图。

假设四面体的底面是我们新添的平面，图中给出了前3个平面与这个平面的交线。这些交线把这个平面分成了几个部分呢？
咦？这个问题怎么好像做过？
就是3条直线最多把平面分成几个区域嘛。噢~~似乎有点思路了哎。
平面被3条直线分成了7个区域，每个区域都将原来的一部分空间变成了两部分空间。也就是说，新增了7个空间。同上，如果我

们用b（3）来表示3个平面分了几个空间区域，那么b（4）就等于b（3）+a（3）。a（3）是什么？上面刚说的嘛，向上看，第一

个图的下面一段话。
看起来挺对的哎，就是还有点小犹豫。要不我们再看看5个平面的情况验证一下？

呃……好吧我画的真糟。:(
平面β和α是会相交的，而且如果要得到最多的空间区域，交线与其他平面和β的交线不平行。于是乎，问题又转换成了，4条

直线把平面分成了多少区域。所以呢，b（n）真的等于b（n-1）+a（n-1）。
好啦，我要得出结果啦。b(n) = n+1+(n+1)*n*(n-1)/6
别问我结果怎么推出来的，二阶等差嘛。。
呃……其实我数学超烂，1×2+2×3+3×4+……+（n-1）×n 等于多少不会算，还是请教了FancyMouse殿下，林杰杰，flyfox，

ailyanlu，tdzl众牛才会算:(好笨。原理是C(a,a)+C(a+1,a)+...+C(b,a)=C(b+1,a+1)，把a换成2，b换成n可以直接得到。也或者1×2+2×3+3×4+……+（n-1）×n = （1^2+2^2+3^2+……+n^2）-（1+2+3+……+n） = n×（n+1）×（2n+1）/6-（n+1）×n/2。
囧ing