CF2249D Xor Permutation Matrix

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小店解析：切了 D2F/D1D 没切 D2E/D1C。

题解

考虑什么情况无解。

对于 \(n = 2\)，\(x \ne 0\) 时无解。

手玩一下 \(n = 3\) 发现对于 \(x = 0,1,2\) 都无解（于是赛时直接判掉 \(n \ne 2^p\) 的情况），思考后发现：对于 \(n > 2\)，如果 \(n\) 并不是 2 的整数次幂，那也无解。

对于 \(x = 0\) 的构造似乎也是显然的。

考虑如何构造其他情况。

我们可以把目标矩阵 \(A\) 拆解为三个独立的部分：
\(A_{i,j} = C_i \oplus C_j \oplus M_{i,j}\)。

其中，\(M_{i,j}\) 在 \(i\) 和 \(j\) 都是偶数时为 \(x\)，其他情况为 \(0\)。

这个方法的好处就在于对于 \(C_i\) 和 \(C_j\)，在统计这个矩阵时不会做出任何贡献。

考虑如何构造 \(C\)。

为了让包含了 \(M_{i,j}\) 的每一行/列仍然是排列，我们需要把 \(0\) 到 \(n-1\) 分成若干个互不相交的数对 \((y, y \oplus x)\)，我们将这些数对分成两部分处理。

把其中一个集合的数放在 \(C\) 的偶数下标位置，把 另一个集合中的数放在 \(C\) 的奇数下标位置即可。这样一来，无论是在异或 0 还是异或 \(x\) 的情况下，行和列都是一个从 \(0\) 到 \(n-1\) 的排列。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#ifdef _WIN32
#define getchar _getchar_nolock
#define putchar _putchar_nolock
#else
#define getchar getchar_unlocked
#define putchar putchar_unlocked
#endif
#define pll pair<ll,ll>
#define pld pair<ld,ld>
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef __int128 i128;
namespace io {
    using namespace std;
    template<typename T> void debug (T x) {
        cerr<<x<<'\n';
    }
    template<typename T> void debuglen (T x) {
        cerr<<x<<' ';
    }
    template<typename T,typename...Args> void debug (T x,Args...args) {
        cerr<<x<<' ';
        debug(args...);
    }
    template<typename T> void debug (T *lt,T *rt) {
        ll len=rt-lt;
        for (ll i=0;i<len;i++) {
            debuglen(*(lt+i));
        }
        cerr<<'\n';
    }
    inline ll read () {
        char x=getchar();
        ll ans=0,f=1;
        while (x<'0'||x>'9') {
            if (x=='-') {
                f=-1;
            }
            x=getchar();
        }
        while (x>='0'&&x<='9') {
            ans=(ans<<1)+(ans<<3);
            ans+=(x^'0');
            x=getchar();
        }
        return ans*f;
    }
    template <typename T> void write (T x) {
        if (x<0) {
            putchar('-');
            x=-x;
        }
        if (x>=10) {
            write(x/10);
        }
        putchar(x%10+'0');
    }
    template <typename T> inline void print (T x) {
        write(x);
        putchar('\n');
    }
    template <typename T> inline void printlen (T x) {
        write(x);
        putchar(' ');
    }
    template <typename T,typename...Args> inline void print (T x,Args...args) {
        printlen(x);
        print(args...);
    }
    template <typename T> inline void print (T *lt,T *rt) {
        ll len=rt-lt;
        for (ll i=0;i<len;i++) {
            if (i==len-1) {
                print(*(lt+i));
                return ;
            }
            printlen(*(lt+i));
        }
    }
}
using namespace io;
const ll N=25e2+5,mod=1e9+7,inf=2e18;
const ld eps=1e-6;
ll n,x,num[N];
vector<pll> vl;
bool vis[N];
inline void solve () {
    n=read(),x=read();
    if ((n&(n-1))!=0) {
        puts("-1");
        return ;
    }
    if (x==0) {
        for (ll i=1;i<=n;i++) {
            for (ll j=1;j<=n;j++) {
                print((i-1)^(j-1));
                putchar(' ');
            }
            puts("");
        }
        return ;
    }
    if (n==2) {
        puts("-1");
        return ;
    }
    vl.clear();
    for (ll i=0;i<n;i++) {
        vis[i]=0;
    }
    for (ll i=0;i<n;i++) {
        if (vis[i]) {
            continue;
        }
        ll xl=i^x;
        vis[i]=vis[xl]=1;
        vl.push_back({i,xl});
    }
    ll len=n/4;
    for (ll i=0;i<len;i++) {
        num[2*i+1]=vl[i].first;
        num[2*i+2]=vl[len+i].first;
        num[2*(i+len)+1]=vl[i].second;
        num[2*(i+len)+2]=vl[len+i].second;
    }
    for (ll i=1;i<=n;i++) {
        for (ll j=1;j<=n;j++) {
            ll val=num[i]^num[j];
            if (!(i&1)&&!(j&1)) {
                val^=x;
            }
            print(val);
            putchar(' ');
        }
        puts("");
    }
}
int main () {
    // freopen(".in","r",stdin);
    // freopen(".out","w",stdout);
    ll T=read();
    while (T--) {
        solve();
    }
    return 0;
}