指数函数求导

a^x=y 

求  y'

y'=d(a^x)/dx

=lim(x->0): (a^(x+dx)-a^x)/dx  （1）

根据 指数函数可推出： x^(y+z)=x^y*x^z

所以（1）=》

=lim(x->0):d(a^x)(a^dx-1)/dx

=lim(x->0) d(a^x)*M(a)   （2）

 分析2式看出，对 a^x的求导，还原了自身，在2式中存在着 自身  d(a^x) 只不过后面多了个 M(a) 思路是让这个M(a)=1 这时我们可以推测出这个求导的结果必然是  其指数自身的一种形式对另一个值的积的形式！简单来说就是M(a)=1时指数的导数为其自身，在这时我们是可以求出导数的，于是原问题就变成了如果在

M(a)不等于1时的导数了。

因为M(a)这个函数是关于底数的一个函数，M(a)=lim(x->0) (a^dx-1)/dx

在a是常数的 a^x函数里，M(a)是个 0/0型极限，这个极限需要解决，就象解决  sin(dx)/dx一样

注意：
d(a^x)lim(x->0)M(e^k)   //这里 d(a^x)从极限里面拿出来的是因为，它与极限变量x已经脱勾了，无关了，所以可以拿出来有关的部分被 集中到了M底函数里面了。

 

现在我们需要一个数，让  M(x)=1, 如果确定这个x是一个常数 e 且 e>1 则 任何底a都可以表述为  e^lna 了这是解决问题的核心

(e^dx-1)/dx=1

=> e^dx-1=dx

=>e^dx=dx+1

=>e=(dx+1)^1/dx   (3)

不难看出 3式是具有现实可操作性的， 1/dx就是 一个趋向正无穷的数，你可以随便取，比如 取 100，1000，都可以，而一个无限接近于

1的底的无穷次方也是一个有界的， 要知道1的无穷次方可是1本身啊，1+个无穷小，的无穷次方，就是有极限 ，这个极限可以这样通过一种可操作的方式去计算，结果 就是e了

思路的关键就是找到这个极限以后那么指数函数的导数也就找到了，这是为什么要找到e的原因

 

M(a) 就可以表示 为，M(e^k)  令 e^k=a  则 k=lna

用 e^k 来表示a 当e成为常数后 那么仅剩下的k就由a自己表达了 为lna

d(a^x)/dx= d((e^lna)^x)/dx    4

所有构思的目的就是为了得到4式，然后根据链式求导法则就以直接得出  

4=>

d(e^lna*x)/dx  //链式求导，内函数为，lna*x

=e^(lna*x)<外函数导数为其自身，这是上面思路里总结的> *lna<内函数lna*x求导，lna是常数，x求导为1 所以 结果为lna>

=e^(lna*x)*lna= a^x * lna  // 因为 e^x*lna=(e^lna)^x=a^x    (5)

 

5式就是指数函数的求导结果了