微积分

微积分

附录

三角函数

$
sin(x) * csc(x) = 1
$

$
cos(x) * sec(x) = 1
$

$
tan(x) * cot(x) = 1
$

三角换元

$ 奇变偶不变，符号看象限 $

$ 加 $	$ 减 $
$ sin(x + 2k\pi) = sin(x) $	$ sin(-x) = -sin(x) $
$ cos(x + 2k\pi) = cos(x) $	$ cos(-x) = cos(x) $
$ tan(x + 2k\pi) = tan(x) $	$ tan(-x) = -tan(x) $
$ sin(\pi + x) = -sin(x) $	$ sin(\pi - x) = sin(x) $
$ cos(\pi + x) = -cos(x) $	$ cos(\pi - x) = -cos(x) $
$ tan(\pi + x) = tan(x) $	$ tan(\pi - x) = -tan(x) $
$ sin(\frac{\pi}{2} + x) = cos(x) $	$ sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x) $
$ cos(\frac{\pi}{2} + x) = -sin(x) $	$ cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x) $
$ tan(\frac{\pi}{2} + x) = -cot(x) $	$ tan(\frac{\pi}{2} - x) = cot(x) $
$ sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -cos(x) $	$ sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -cos(x) $
$ cos(\frac{3\pi}{2} + x) = sin(x) $	$ cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -sin(x) $
$ tan(\frac{3\pi}{2} + x) = -cot(x) $	$ tan(\frac{3\pi}{2} - x) = cot(x) $

和角公式

$
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
$

$
sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
$

$
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
$

$
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
$

$
tan(a + b) = \frac{tan(a) + tan(b)}{1 - tan(a)tan(b)}
$

$
tan(a - b) = \frac{tan(a) - tan(b)}{1 + tan(a)tan(b)}
$

二倍角公式和万能公式

$
sin(2x)
= 2sin(a)cos(a)
= \frac{2tan(x)}{1 + tan^{2}(x)}
$

$
cos(2x)
= cos^{2}(x) - sin^{2}(x)
= \frac{2tan(x)}{1 - tan^{2}(x)}
$

其他

$
\frac{sin(x)}{1 + cos(x)} = tan(\frac{\theta}{2})
$

$
\frac{sin(x)}{1 - cos(x)} = tan^{-1}(\frac{\theta}{2})
$

$
1 + tan^{2}(x) = sec^{2}(x)
$

$
1 + cot^{2}(x) = csc^{2}(x)
$

$
sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1
$

$
\frac{1 - cos(x)}{1 + cos(x)} = tan^{2}(\frac{x}{2})
$

导数对应表

$ 原函数 $	$ 导数 $	$ 特殊情况 $	$ 导数 $
$ a $	$ 0 $
$ x^{a} $	$ ax^{a - 1} $
$ a^{x} $	$ a^{x}ln(a) $	$ e^{x} $	$ e^{x} $
$ \log_{a}{x} $	$ \frac{1}{xln(a)} $	$ ln(x) $	$ \frac{1}{x} $
$ sin(x) $	$ cos(x) $
$ cos(x) $	$ sin(x) $
$ tan(x) $	$ sec^{2}(x) $
$ csc(x) $	$ -csc(x)tan(x) $
$ sec(x) $	$ sec(x)tan(x) $
$ cot(x) $	$ -csc^{2}(x) $
$ arcsin(x) $	$ \frac{1} {\sqrt{1 - x^{2} } } $
$ arccos(x) $	$ \frac{-1} {\sqrt{1 - x^{2} } } $
$ arctan(x) $	$ \frac{1} {1 - x^{2} } $
$ arccot(x) $	$ \frac{-1} {1 - x^{2} } $

常见的麦克劳林级数

\[(1) e^{x} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ x^{n} }{n!} \]

\[(2) sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{ (2 n + 1)! } x^{2 n + 1} \]

\[(3) cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{ (2 n)! } x^{2 n} \]

\[(4) ln(x + 1) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{n + 1} x^{n + 1} \]

\[(5) \frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^{n} \]

\[(6) \frac{1}{1 + x} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n} x^{n} \]

\[(7) (1 + x)^{a} = \sum\limits_{n = 0}^{a} C_{a}^{n} x^{n} \]

重要极限

\( 条件1： f(x)*g(x) = 1 \)

\( 条件2： f(x) \to 0 ~或者~ g(x) \to 0 \)

\[\lim\limits (1 + f(x))^{g(x)} = e \]

推广:
\( \lim\limits_{x \to x_{0}} f(x)^{g(x)} = e^{\lim\limits_{x \to x_{0}}} (f(x) - 1)g(x) \)

等价无穷小替换

\( 条件：x \to 0 \)

\( x ∼ sin(x) ∼ tan(x) ∼ arcsin(x) ∼ arctan(x) ∼ ln(1 + x) ∼ e^{x} - 1 \)

\( 1 - cos^{a}(x) ∼ \frac{a}{2} x^{2} (a \neq 0) \)

\( a^{x} ∼ xln(a) \)

\( (1 + x)^{a} - 1 ∼ ax (a \neq 0) \)

\( \begin{cases} x - sin(x) \sim \frac{1}{6} x^{3} \\ tan(x) - x \sim \frac{1}{3} x^{3} \\ tan(x) - sin(x) \sim \frac{1}{2} x^{3} \\ x - ln(x + 1) \sim \frac{1}{2} x^{3} \\ arcsin(x) - x \sim \frac{1}{6} x^{3} \\ x - arctan(x) \sim \frac{1}{3} x^{3} \\ \end{cases} \)

常见不等式

\( (1) sin(x) < x < tan(x), x \in (0, \frac{\pi}{2}) \)

\( (2) \frac{x}{1 + x} < ln(1 + x) < x, x \in (0, +\infty) \)

\( (3) e^{x} \geq 1 + x, x \in R \)

\( (4) a^{2} + b^{2} \geq 2ab, a, b \in (0, +\infty) \)

\( (5) x - 1 < \lfloor x \rfloor \leq x \)

\( (6) (1 + x)ln^{2}(1 + x) < x^{2}, x \in (0, +\infty) \)

\( (7) (柯西-施瓦茨不等式) \)
\( (\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x)dx * \int_{a}^{b} g^{2}(x)dx \)

\( (8) f((1 - t)x_{1} - x_{2}) \leq (1 - t)f(x_{1}) + tf(x_{2}), f''(x) \in (0, +\infty), t \in (0, 1) \)

\( (9) f(\frac{a + b}{2}) \leq \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(x) dx \leq \frac{1}{2} (f(a) + f(b)), f''(x) \in (0, +\infty) \)

函数，极限，连续

函数

函数表达式

\( 两个函数相同 \begin{cases} 定义域相同 \\ 对应法则相同 \\ \end{cases} \)

求f(x)方法
法一：解微分方程求f(x)表达式 (99%)
法二：复合函数
法三：变换或消元求f(x)表达式

函数的几何特性

奇偶性

奇函数：f(x) = -f(-x)
偶函数：f(x) = f(-x)

1.应用：定积分，二重积分，曲线与曲面积分，傅里叶级数
2. $ 对 \forall f(x), f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} $
3. 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；
奇函数的原函数是偶函数，偶函数的原函数只有一个是奇函数。

奇函数：

$ ln(x + \sqrt(1 + x^2)) $

$
f(x) - f(-x)
\begin{cases}
f(x) = e^x \
f(x) = a^x \
f(x) = e^{sin(x)} \
f(x) = ln(c + x) \
\end{cases}
$

\( \int_{0}^{x} even ~ dt \)

偶函数：

$
f(x) + f(-x)
\begin{cases}
f(x) = e^x \
f(x) = a^x \
f(x) = e^{sin(x)} \
f(x) = ln(c + x) \
\end{cases}
$

\( \int_{0}^{x} odd ~ dt \)

周期性

周期函数的导函数仍是周期函数，且周期不变

单调性

应用：
(1) 证明不等式
(2) 夹逼定理
(3) 单调有界准则
(4) 定积分，二重积分中的大小比较

分段函数

\( max(f(x), g(x)) = \frac{f(x) + g(x)}{2} + \frac{|f(x) - g(x)|}{2} \)

\( min(f(x), g(x)) = \frac{f(x) + g(x)}{2} - \frac{|f(x) - g(x)|}{2} \)

\( \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n} + b^{n} + c^{n}} = max(a, b, c) \)

极限

重要极限

未定式：

\( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0*\infty, 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}, \infty - \infty \)

\( 条件1： f(x)*g(x) = 1 \)

\( 条件2： f(x) \to 0 ~或者~ g(x) \to 0 \)

\[\lim\limits (1 + f(x))^{g(x)} = e \]

推广:
\( \lim\limits_{x \to x_{0}} f(x)^{g(x)} = e^{\lim\limits_{x \to x_{0}}} (f(x) - 1)g(x) \)

再推广：
\( \lim\limits_{x \to 0} (\frac{\sum\limits_{t = 1}^{n} f(t)^{x}}{d})^{\frac{m}{x}} = (\prod\limits_{t = 1}^{n} f(t))^{\frac{m}{d}} \)

导数与微分

\( \frac{dy}{dx} 指对y以x为自变量求导 \)

\( \frac{d^{2}y}{dx^{2}} 指对y以x为自变量求二阶导 \)

\( \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} (\frac{dy}{dx}) = \frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx} \)

积分

凑微分

\( \int \frac{d}{(x + a)(x + b)} dx \)

\( = \frac{d}{ \vert a - b \vert } ln \vert \frac{ln(x + a)}{ln(x + b)} \vert + C ~~~ (a < b) \)

分部积分

$
\int u d v = \int u v' dx = uv - f v d u
$

\[\int e^{kx} ~ sinax ~ dx = \frac {1} {k^{2} + a^{2}} \left|\begin {array}{} (e^{kx})' & (sinax)' \\ e^{kx} & sinax \\ \end{array} \right| + C \tag{1} \]

\[\int x^{n}cos(a x + b) dx = \sum\limits_{i = 0}^{n} \frac{ n! }{(n - i)! a^{i + 1}} x ^{n - i} sin(a x + b + \frac{i \pi }{2}) + C \tag{2} \]

$
特别的，当a = 1 , b = 0时, (2) 可写成:
$

$
令u(x) = x^{n} ~~ , ~~ v(x) = sin(x)
$

\[\int x^{n}cos(x) dx = \sum\limits_{i = 0}^{n} u^{{(i)}} (x) v^{{(i)}} (x) \]

\[\int x^{n}sin(a x + b) dx = - \sum\limits_{i = 0}^{n} \frac{ n! }{(n - i)! a^{i + 1}} x ^{n - i} cos(a x + b + \frac{i \pi }{2}) + C \tag{3} \]

$
特别的，当a = 1 , b = 0时, (3) 可写成:
$

$
令u(x) = x^{n} ~~ , ~~ v(x) = cos(x)
$

\[\int x^{n}cos(x) dx = - \sum\limits_{i = 0}^{n} u^{{(i)}} (x) v^{{(i)}} (x) \]

$ 例子 $

$
\int x ^ {4} cos(x) dx
= x^{4} sin(x) + 4 x^{3} cos(x) - 12 x ^ {2} sin(x) - 24x cos(x) + 24 sin(x)
$

微分方程

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

$
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
$

$
\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx
$

$
两边积分，即的方程通解
$

齐次型微分方程

$
y' = f(\frac{y}{x})
$

$
设 u = \frac{y}{x}, 则y = xu, y' = u + xu'
$

$
\frac{du}{f(u) - u} = \frac{1}{x}dx
$

$
求得解后再将u = \frac{y}{x}回代,即可得通解
$

一阶线性微分方程

$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$

$
通解：
$

\[y = e^{- \int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int{P(x)}dx}dx + C) \]

$
特别的,
$

$
当Q(x) = 0
$

$
y = Ce^{- \int P(x)dx}
$

$
通解公式
y = e^{- \int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int{P(x)}dx}dx) + Ce^{- \int P(x)dx}
$

$
由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解是它的一个特解与其对应的线性齐次方程的通解之和
$

伯努利微分方程

\( y' + P(x) = Q(x) y^{n} \)

\( 伯努利微分方程可以把变量替换成为线性微分方程，将伯努利微分方程两端除以 y^{n} ，得 \)

\[y^{-n} \frac{dy}{dx} + P(x) y^{1 - n} = Q(x) \]

\( 作变量替换 z = y^{1 - n}，则 \frac{dz}{dx} = (1 - n) y^{-n} \frac{dy}{dx}。代入上式，有： \)

\[\frac{dz}{dx} + (1 - n) P(x) z = (1 - n) Q(x) \]

\( 这是以z为未知函数的一阶线性微分方程，由此方程解出z，再由 z = y^{1 - n} 可得伯努利微分方程的解。 \)

\( P_{b}(x) = (1 - n) P(x) \)

\( Q_{b}(x) = (1 - n) Q(x) \)

\[z = e^{- \int P_{b} (x) dx}(\int Q_{b} (x) e^{\int{ P_{b}(x) } dx } dx + C) \]

\[y = \sqrt[1 - n]{z} \]

可降阶的高阶微分方程

$ y^{(n)} = f(x) $ 类型

$
对f(x) 积分n次即可
$

$ y'' = f(x , y') $ 类型

$
令y' = p(x) ~~~ y'' = p'
$

$
那么 ~ y'' = f(x , y') ~ 可化为 ~ p' = f(x , p)
$

$
y'
= p
= g(x , C_{1})
$

$
y = \int g(x , C_{1})dx + C_{2}
$

二阶常系数线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程

$
y'' + py' + qy = 0 ~~~ y = e^{rx}
$

$
将 ~~ y = e^{rx} ~~ 代入 ~~ y'' + py' + qy = 0 ~~~ y = e^{rx}
$

$
得 ~~ (r^{2} + pr + q)e^{rx} = 0
$

$
即
$

$
r^{2} + pr + q = 0
$

$
解出r的两个特征根r_{1},r_{2}
$

$
按下表即可求出微分方程的通解
$

$ 特征方程r^{2} + pr + q = 0的两根r_{1},r_{2}$	$微分方程y'' + py' + qy = 0的通解 $
$ r_{1} \ne r_{2}$	$ y = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} $
$ r_{1} = r_{2} = r$	$ y = (C_{1} + C_{2}x)e^{rx} $
$ r_{1} = \alpha + i \beta , r_{2} = \alpha-i\beta $	$ y = e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x + C_{2}sin \beta x) $

二阶常系数非齐次线性微分方程

\[y'' + py' + qy = f(x) \tag{1} \]

$
对应的齐次微分方程:
$

\[y'' + py' + qy = 0 \tag{2} \]

$
设y^{*} 是微分方程(1)的一个特解,Y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}是对应的齐次方程(2)的通解
$

$
即，通解 y = y^{*} + Y ~~~ (通解为齐通加非奇特)
$

$
(1)
当右端函数f(x) = e^{ax}P_{n}(x)
$

\[y^{*} = \begin{cases} x^{0}e^{ax}Q_{n}(x), ~~~ 当a不是特征根 \\ x^{1}e^{ax}Q_{n}(x), ~~~ 当a是单根 \\ x^{2}e^{ax}Q_{n}(x), ~~~ 当a是重根 \\ \end{cases} \]

$
Q_{n} (x) 为待定的x的n次多项式
$

$
(2)
当右端函数f(x) = e^{ax}sin(bx) ~~ or ~~ e^{ax}cos(bx)
$

\[y^{*} = \begin{cases} x^{0}e^{ax}(Acos(bx) + Bsin(bx)), ~~~ 当a \pm bi 不是特征根 \\ x^{1}e^{ax}(Acos(bx) + Bsin(bx)), ~~~ 当a \pm bi 是特征根 \\ \end{cases} \]

无穷级数

数项级数

数项级数的概念

$
设 { S_{n} } 是级数\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 的部分和数列
$

\( 若 \lim\limits_{n \rightarrow \infty} S_{n} = S ,则称该级数收,称S为该级数的和，记作\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} = S \)

$
否则,称该级数发散
$

数项级数的性质

性质1 级数收敛的必要条件

$
若\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n}收敛,则\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_{n} = 0
$

性质2

$
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 与 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (ku_{n}) 具有相同的收散性
$

性质3

$
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} = S , \sum\limits_{n = 1}^{\infty} v_{n} = T , 则
$

$
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (u_{n} \pm v_{n}) = S \pm T
$

$
\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (au_{n} \pm bv_{n}) = aS \pm bT
$

数项级数的审敛法

正项级数及其审敛法

定理 1

\( 正项级数 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 收敛的充要条件是它的部分和数列\{ S_{n} \} 有上界 \)

定理 2 比较审敛法

\( 设正项级数 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} ~~ , ~~ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} v_{n} ~~ , ~~ 对所有的n有 u_{n} \leq v_{n} \)

\( 则 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 和 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} v_{n} 具有相同的敛散性 \)

定理 3 比值审敛法

\( 设正项级数 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} ~~ , ~~ 若 \lim\limits_{ n \rightarrow + \infty } \frac{ u_{n + 1} }{ u_{n} } = p \)

\( \begin{cases} 级数收敛 ~~ , ~~ p < 1 \\ 级数发散 ~~ , ~~ p > 1 \\ 未知 ~~ , ~~ p = 1 \\ \end{cases} \)

定理 4 根值审敛法

\( 设正项级数 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} ~~ , ~~ 若 \lim\limits_{ n \rightarrow + \infty } \sqrt[n]{ u_{n} } = p \)

\( \begin{cases} 级数收敛 ~~ , ~~ p < 1 \\ 级数发散 ~~ , ~~ p > 1 \\ 未知 ~~ , ~~ p = 1 \\ \end{cases} \)

交错级数及其审敛法

定理 4 莱布尼兹审敛法

\( 设交错级数 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} u_{n} ~ (u_{n} > 0)，满足条件： \)

\( (1) u_{n} \geq u_{n + 1} \)

\( (2) \lim\limits_{ n \rightarrow + \infty } u_{n} = 0 \)

\( 则级数收敛，若其和为S，则 0 \leq S \leq u_{1} \)

任意项级数的绝对收敛与条件收敛

\( 设 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 为任意项级数， \)

\( 如果\sum\limits_{n = 1}^{\infty} |u_{n}| 收敛，则\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 为 绝对收敛 \)

\( 如果\sum\limits_{n = 1}^{\infty} |u_{n}| 发散且\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n}收敛，则\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 为 条件收敛 \)

\( 如果\sum\limits_{n = 1}^{\infty} |u_{n}| 收敛，则\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 一定收敛 \)
\( 如果\sum\limits_{n = 1}^{\infty} |u_{n}| 发散，那么\sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_{n} 不一定发散 \)

幂级数

常见的幂级数

\( 等比级数 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a q^{n - 1} = \begin{cases} 收敛 ， \vert q \vert < 1 \\ 发散 ， \vert q \vert \geq 1 \\ \end{cases} \)

\( P-级数 \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{ n^{p} } = \begin{cases} 收敛 ， p > 1 \\ 发散 ， p \in (0 , 1] \\ \end{cases} \)

幂级数的收敛域

阿贝尔定理

\( 若幂级数 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} 在点x = x_{0} (x_{0} \neq 0) 处收敛， \)

\( 则在 \vert x \vert \ < \vert x_{0} \vert 范围内， 幂级数 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} 绝对收敛； \)

\( 若幂级数\sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}在点x = x_{0} (x_{0} \neq 0)处发散， \)

\( 则在 \vert x \vert \ > \vert x_{0} \vert 范围内， 幂级数 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} 发散, \)

\( 幂函数 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} 的收敛半径为： \)

\[R = \lim\limits_{ n \rightarrow + \infty } \vert \frac{ a_{n} }{ a_{n + 1} } \vert \]

幂级数的运算与性质

幂级数的加减运算

\( 若幂级数 \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} , \sum\limits_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n} 分别在( -R_{1} , R_{1}) , ( -R_{2} , R_{2})内收敛，则 \)

\( \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \pm \sum\limits_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) x^{n}， \)

\( 且收敛区间为( -R , R) , 其中R = min \{ R_{1} , R_{2} \} \)

幂级数的和函数性质

\( (1)~ S(x) 在 (-R , R)，内连续 \)

\( (2)~ S(x) 在 (-R , R)，内可积，且可以逐项积分 \)

\( (3)~ S(x) 在 (-R , R)，内可导，且可以逐项求导 \)

函数展开成幂级数

泰勒级数

1.泰勒公式

\( f(x) = \sum\limits_{i = 0}^{n} \frac{ f^{(i)} ( x_{0} ) } { i! } (x - x_{0})^{i} \)

麦克劳林公式
\( f(x) = \sum\limits_{i = 0}^{n} \frac{ f^{(i)} ( 0 ) } { i! } (x)^{i} \)

2.常见的麦克劳林级数

\[(1) e^{x} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ x^{n} }{n!} \]

\[(2) sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{ (2 n + 1)! } x^{2 n + 1} \]

\[(3) cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{ (2 n)! } x^{2 n} \]

\[(4) ln(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{n + 1} x^{n + 1} \]

\[(5) \frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^{n} \]

\[(6) \frac{1}{1 + x} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n} x^{n} \]

\[(7) (1 + x)^{a} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} C_{a}^{n} x^{n} \]

例：
\( ln(10 + x) \)

\(\qquad = ln 10(1 + \frac{x}{10}) \)

\(\qquad = ln10 + ln(1 + \frac{x}{10}) \)

\(\qquad = ln10 + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{n + 1} (\frac{x}{10})^{n + 1} \)

多元函数微分学

多元函数

二元函数的连续性

\( 如果 \lim\limits_{\substack{x \to x_{0} \\ y \to y_{0} } } f(x , y) = f ( x_{0} , y_{0} ), \)

\( 则称函数f(x , y) 在点P_{0}(x_{0} , y_{0} )连续；否则称为间断 \)

偏导数与全微分

偏导数的概念及其计算

\( z_{x} = f_{x} (x , y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial x} = \lim\limits_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{ f(x_{0} + \bigtriangleup x , y_{0}) - f(x_{0} , y_{0} ) }{ \bigtriangleup x } \)

对y同理

高阶偏导数

\( z = f(x , y) 的四个二阶偏导数： \)

\( f_{xx}(x , y) = \frac{\partial }{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \)

\( f_{xy}(x , y) = \frac{\partial }{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \)

\( f_{yx}(x , y) = \frac{\partial }{\partial x} (\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} \)

\( f_{yy}(x , y) = \frac{\partial }{\partial y} (\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \)

\( 定理： \)

\( 如果 z = f(x , y) 两个二阶混合偏导数 \)

\( \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} 及 \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} 在闭区域D内连续， \)

\( 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 \)

全微分

\( A \bigtriangleup x + B \bigtriangleup y 为函数 z = f(x , y) 在点 (x , y) 可微分，记作 dz ,即 \)

\[dz = A \bigtriangleup x + B \bigtriangleup y \]

定理：可微的必要条件

\( 如果函数 z = f(x , y) 在点 (x , y) 可微分，则函数在该点的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} ，\frac{\partial z}{\partial y} ，必存在，且 z = f(x , y) 在点 (x , y) 的全微分为 \)

\[dz = \frac{\partial z}{\partial x} \bigtriangleup x + \frac{\partial z}{\partial y} \bigtriangleup y \]

定理：可微的充分条件

\( 如果函数 z = f(x , y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} ，\frac{\partial z}{\partial y}在点 (x , y) 连续，则函数在该点可微分 \)

\( z = f(x , y)的全微分可写作 \)

\[dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]

多元复合函数与隐函数的偏导数

多元复合函数的偏导数

\( 链式法则的三个特点 \)

\( (1) 所求偏导数的个数是复合函数中自变量的个数 \)

\( (2) 每个偏导数均为若干个项的和，项的个数是中间变量的个数 \)

\( (3) 每一项都是函数对中间变量的偏导数乘以此中间变量对自变量的偏导数 \)

\( 例： \)

\( z = f(u , v , w) \)

\( u = f_{1}(x , y) \)

\( v = f_{2}(x , y) \)

\( w = f_{3}(x , y) \)

\( \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial y}{\partial v} \)

\[\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} * \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} * \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial z}{\partial w} * \frac{\partial w}{\partial x} \\ \\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} * \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} * \frac{\partial v}{\partial y}+ \frac{\partial z}{\partial w} * \frac{\partial w}{\partial y} \\ \end{cases} \]

隐函数的偏导数

\( \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{ F_{x} }{ F_{z} } , \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{ F_{y} }{ F_{z} } \)

\( F_{x} 表示原函数对x的偏导 \)

重积分

二重积分

二重积分的性质

性质1:

\[\iint\limits_{D} k f(x , y) d\sigma = k \iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma \]

性质2:

\[\iint\limits_{D} (f(x , y) \pm g(x , y)) d\sigma = \iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma \pm \iint\limits_{D} g(x , y) d\sigma \]

性质3:(区域可加性)

\[\iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma = \iint\limits_{D_{1} } f(x , y) d\sigma + \iint\limits_{D_{2} } f(x , y) d\sigma \]

性质4:

若在区域D上有f(x , y) = 1,D的面积是A，则

\[\iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma = \iint\limits_{D} d\sigma = A \]

性质5:

\( 若区域D上有 f(x , y) \leq g(x , y)，则 \)

\[\iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma \leq \iint\limits_{D} g(x , y) d\sigma \]

性质6:

\( M是f(x , y)在区域D上的最大值 \)

\( m是f(x , y)在区域D上的最小值 \)

\[m \leq \iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma \leq M \]

性质7:(二重积分的中值定理)

\( 若f(x , y)在闭区域D上，连续，A是区域D的面积，则在区域D内至少存在一点(a , b),使得 \)

\[\iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma = f(a , b)A \]

二重积分的计算

直角坐标系中计算二重积分

\( 先求出D = \{ (x , y) \vert x \in [a , b] , y \in [ \psi_{1} (x) , \psi_{2} (x) ] \} \)

\[\iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma = \int_{a}^{b} ( \int_{ \psi_{1} (x) }^{ \psi_{2} (x) } f(a , b) dy ) dx \]

极坐标系中计算二重积分

\( \begin{cases} x = rcos(\theta) \\ y = rsin(\theta) \\ \end{cases} \)

\[\iint\limits_{D} f(x , y) d\sigma = \iint\limits_{D} f(rcos(\theta) , rsin(\theta)) r dr d\theta \]

三重积分

直角坐标系中计算三重积分

\( \Omega = \{ (x , y , z) \vert x \in [x_{1} , x_{2} ] , y \in [f_{y1}(x) , f_{y2}(x)] z \in [f_{xy1}(x , y) , f_{xy2}(x , y)] \} \)

\[\iiint\limits_{\Omega} f(x , y , z) dv = \int_{x_{1} }^{x_{2} } dx \int_{f_{y1}(x)}^{f_{y2}(x)} dy \int_{f_{xy1}(x , y)}^{f_{xy2}(x , y)} f(x , y , z) dz \]

柱面坐标系中计算三重积分

\( \begin{cases} x = rcos(\theta) \\ y = rsin(\theta) \\ \end{cases} \)

\[\iiint\limits_{\Omega} f(x , y , z) dv = \iiint\limits_{\Omega} f(rcos(\theta) , rsin(\theta) , z) r d\theta dr dz \]

证明部分

证明 附录>常见不等式>(2)：
1.题眼：看到外层函数相同的两数之差，用拉格朗日中值定理
2.拉格朗日： $ f(a)-f(b)=f'(\xi)(b-a) (a < \xi < b) $
3.
(1) 构造: $ let ~ f(t) = ln(t), t \in (1, 1 + x) $
(2) 拉日: $ ln(1 + x) - ln(1) = \frac{x}{\xi}, \xi \in (1, 1 + x) $
(3) 放缩: $ \frac{x}{\xi} \in (\frac{x}{1 + x}, x) \Rightarrow ln(1 + x) \in (\frac{x}{1 + x}, x) $

\[\lim\limits_{x \to 0} (\frac{2^{x} + 9^{x} + 37^{x}}{3})^{\frac{3}{x}} \]