2018EC Final I. Misunderstood … Missing

题目大意

一个人一开始有攻击力 \(A\) 和增量 \(D\) ，在每一轮操作开始前攻击力会增加 \(D\) ，共有 \(n(1\leq n\leq 100)\) 轮操作，每轮操作有三个选择 \(a_{i},b_{i},c_{i}（1\leq a_{i},b_{i},c_{i}\leq 10^9)\) ，分别为：在该轮攻击，造成 \(A+a_{i}\) 伤害；在该轮不攻击，让增量 \(D\) 增加 \(b_{i}\) ；在该轮不攻击，让攻击力 \(A\) 增加 \(c_{i}\) 。求完成 \(n\) 轮操作后，总共造成伤害的最大值是多少。

思路

我们考虑每个操作对于结果会产生什么影响，在第 \(i\) 轮中，设在本轮操作后的所有 \(j\) 次攻击，每个攻击所在的轮次为 \(d_{x}\) ，对于第一种操作，对于答案所产生的贡献就为 \(a_{i}\) ；对于第二种操作，那么这次操作对于总攻击力产生的贡献就为 \(b_{i}(\sum_{x=1}^{t}d_{x}-mj)\) ；对于第三种操作，其对总攻击力产生的贡献为 \(c_{i}j\) 。于是我们可以考虑从后往前 \(dp\) ，设 \(f[i,j,k]\) 为从第 \(i\) 轮往后，攻击力 \(j\) 次，攻击所在的回合数的和 \(\sum_{x=1}^{t}d_{x}\) 为 \(k\) 时，对答案产生贡献的最大值。于是根据上面的分析，有如下转移：

\[f[i,j,k]=max\{f[i,j,k],f[i+1,j,k]+c_{i}j,f[i+1][j][k],f[i+1,j,k]+b_{i}(k-j+1)\} \]

\[f[i,j+1,k+i]=max\{f[i,j+1,k+i],f[i,j,k]+a_{i}\} \]

初始值为 \(f[n,1,n]=a_{n}\) ，转移时注意 \(k\) 的枚举范围为 \([\frac{(j+1+j+i-1)j}{2},\frac{(n-j+1+n)j}{2}]\)来排除非法状态，此外由于数组过大，通过滚动数组的方式优化掉第一维，复杂度 \(O(n^4)\) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;
#define all(x) x.begin(),x.end()
//#define int LL
//#define lc p*2+1
//#define rc p*2+2
#define endl '\n'
#define inf 0x3f3f3f3f
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#pragma warning(disable : 4996)
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
const long double eps = 1e-10;
const long double pi = acos(-1.0);
const LL MOD = 100000000;
const LL mod = 998244353;
const int maxn = 100010;

LL dp[2][105][5055];
int T, N;
LL a[maxn], b[maxn], c[maxn];

void solve()
{
	LL ans = 0;
	dp[N & 1][1][N] = a[N];
	for (LL i = N - 1; i >= 1; i--)
	{
		for (LL j = N - i; j >= 1; j--)
		{
			LL up = (N - j + 1 + N) * j / 2, down = (i + i + j) * j / 2;
			for (LL k = up; k >= down; k--)
			{
				dp[i & 1][j][k] = max(dp[i & 1][j][k], dp[(i + 1) & 1][j][k] + c[i] * j);
				dp[i & 1][j + 1][k + i] = max(dp[i & 1][j + 1][k + i], dp[(i + 1) & 1][j][k] + a[i]);
				dp[i & 1][j][k] = max(dp[i & 1][j][k], dp[(i + 1) & 1][j][k] + b[i] * (k - j * i));
			}
		}
	}
	for (int j = 0; j <= N; j++)
	{
		for (int k = 0; k <= (N + 1) * N / 2; k++)
			ans = max(ans, dp[1][j][k]);
	}
	cout << ans << endl;
}

int main()
{
	IOS;
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		cin >> N;
		for (int i = 0; i <= N; i++)
		{
			for (int j = 0; j <= N * (N + 1) / 2; j++)
				dp[0][i][j] = dp[1][i][j] = 0;
		}
		for (int i = 1; i <= N; i++)
			cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
		solve();
	}

	return 0;
}
``