网络流 24 题做题笔记

先立个 flag，寒假结束前切完。

◈ 完成网络流 24 题（6/24）。

1 最大流

1.1 P2756 飞行员配对方案问题

链接

思路：

其实可以用二分图过，匈牙利之后就没了，网络流的话貌似是建图后在 DFS 中判断某一条是否被流量流过。

1.2 P2754 [CTSC1999] 家园 / 星际转移问题

链接

思路：

首先判断是否有解，可以使用并查集。

分层图，我们将每一个时间节点视为一层图，通过枚举时间节点，一边跑 Dinic 一边建图。具体的，加入在 \(t\) 时刻某一飞船在 \(x_k\)，在 \(t+1\) 位于 \(x_{k+1}\)，那么我们将在第 \(t\) 层图中的点 \(x_k\) 向在第 \(t+1\) 层图的 \(x_{k+1}\) 连边。另外，我们需要建立多个起点（即地球），再建立一个超级源点连向它们，至于汇点可以固定（即不需要建立多个月球）。还有一个细节，因为是一边建图一边跑，需要在残量网络中跑网络流。

1.3 P2766 最长不下降子序列问题

链接

思路：

对于第一问，DP 解决（设以 \(a_i\) 结尾的最长不下降子序列。

对于第二问，我们可以对于所有的 \(f_i=1\) 的 \(i\) 与源点建边，流量为 \(1\)；对于所有的 \(f_i=s\) 的 \(i\) 与汇点建边，流量为 \(1\)；对于每一对 \((i,j)\) 满足 \(j \ge i\) 且 \(a_j \ge a_i\)，由 \(i\) 向 \(j\) 连边，流量为 \(1\)。这样，最大流即答案，但是是错的，因为可能会出现一个点流过了 \(\ge 2\) 的流量，也就是该点出现在了至少两个最长不降子序列当中，不合法。我们可以将 \(i\) 分裂为 \(i_1\) 和 \(i_2\)，其中 \(i_1\) 保留 \(i\) 的所有入度，\(i_2\) 保留 \(i\) 的所有出度，再建边 \(i_1 \to i_2\)，流量为 \(1\)，达到了限制点的流量经过的效果。此时答案就是最大流。

对于第三问，将点 \(1\) 和 \(n\) 的点流经限制改为 \(+\infty\)，且源点向点 \(1\) 的边流量无限制（改为 \(+\infty\)），若 \(f_n=s\) 则也取消掉 \(n\) 至汇点的限制。再跑一边 Dinic 完事。

2 最小割

2.1 P2774 方格取数问题

链接

思路：

最小独立集经典问题。首先考虑将方格中相邻点全部建边，构成一个二分图，且二分图中边流量上限设置为 \(\infty\)。再将源点与所有左部点连边，汇点与所有右部点连边，流量上限为其在网格中对应权值。接下来跑最小割，没有被删掉的边与之对应点即被选中的点。

原理大致就是，因为若两点有连边（即在方格中相邻），两者至少有一个不选。我们建图方式会使两者出现让该图出现通路，在最小割中会选择删除两点与源点或汇点的连边中的至少一条，所以跑完最小割剩下的点就是可以选的点。

2.2 P2762 太空飞行计划问题

链接

思路：

不难发现，对于一场实验，要么做实验，要么将这一场要用的仪器全部不买（其它要做的实验用到的除外）。很容易想到建图方式，对于一场实验将其与之所有要用的仪器连边，构成一个二分图，其间容量为 \(\infty\)。再将左部点与源点连边，右部点与汇点连边，容量为该实验的收益或该仪器的价格。

跑最小割，答案就是所有实验的收益之和减去割去的边（若某实验被割，则说明该实验不用做，需减去；若某仪器被割，说明至少有一场实验要用到它，需要在收益中减去它的花费）。至于方案，就是所有与源点相连的边（若某实验被割，则该实验不需要做，且其所有相关的仪器若没有其它要做的实验用到，也不联通，即也不需要）

2.3 P3355 骑士共存问题

链接

思路：

方格取数 Pro MAX。