三角函数之和差角公式
preface
前置点1：平行线内错角定理
前置点2：三角函数奇偶性，即: $ \cos (-\theta)=\cos \theta, \enspace \sin (-\theta)=-\sin \theta $
description
如上图，
设\(AB\)为1，四边形\(ADEF\)为正方形，\(\Delta ABC\)为直角三角形。
设 \(\angle CAB\)为 \(\alpha\)，\(\angle CAD\) 为 \(\beta\) 。
因为\(EF\)平行于\(AD\)， \(\angle BAD\) 与 \(\angle ABE\) 互为平行线内错角.
据前置点1，\(\angle ABE =\angle BAD= \alpha+\beta\) 。
procedure
\[\begin{eqnarray}
标一:\enspace \cos \beta=\frac{AD}{\cos \alpha}
\\ \\
AD=\cos \beta \cos \alpha
\\ \\ \\
标二:\enspace \sin \beta=\frac{CD}{\cos \alpha}
\\ \\
CD=\sin \beta \cos \alpha
\\ \\ \\
标三:\enspace \angle ACD+\angle A C B+\angle F C B=180^{\circ}
\\ \\
\because \angle A C D=\left(90^{\circ}-\beta\right)
\\
\angle ACB=90^{\circ}
\\
\left(90^{\circ}-\beta\right)+90^{\circ}+\angle F C B=180^{\circ}
\\
\therefore \quad \angle FCB=\beta
\\ \\
\sin \beta=\frac{F B}{\sin \alpha}
\\ \\
FB=\sin \alpha \sin \beta
\\ \\ \\
旗一: \enspace
\cos\beta=\frac{FC}{\sin\alpha}
\\ \\
FC=\sin\alpha\cos\beta
\\ \\ \\
旗二: \enspace AE=FD=CF+CD
\\ \\
结果1: \enspace \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha
\\ \\
\sin(\alpha-\beta)=\sin[\alpha+(-\beta)]=\sin\alpha\cos(-\beta)
+\sin(-\beta)\cos\alpha
\\ \\
据前置点2:
\\
结果2: \enspace \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha
\\ \\ \\
旗三: \enspace EB=AD-FD
\\ \\
结果3: \enspace \cos(\alpha+\beta)=\cos\beta\cos\alpha-\sin\alpha\sin\beta
\\ \\
\cos(\alpha-\beta)=\cos[\alpha+(-\beta)]=\cos(-\beta)\cos\alpha
-\sin \alpha \sin (-\beta)
\\ \\
结果4: \enspace \cos(\alpha-\beta)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}
\]
summarize
关键: 结果1和结果3
借助前置点2，从结果1延伸出结果2，从结果3延伸出结果4
\[\begin{align}
结果1: \enspace \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha
\\ \\
结果2: \enspace \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha
\\ \\
结果3: \enspace \cos(\alpha+\beta)=\cos\beta\cos\alpha-\sin\alpha\sin\beta
\\ \\
结果4: \enspace \cos(\alpha-\beta)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\alpha\sin\beta
\end{align}
\]
