从分式第n项到线性递推——bostan-mori 算法的扩展应用

本文是在洛谷博客、github 博客同时发布的P4723 【模板】常系数齐次线性递推题解。

介绍一个常数小还极其好写的科技：bostan-mori 算法。

与其他线性递推算法不同，利用本方法求解线性递推问题不需要任何矩阵知识，唯一前置知识：多项式乘法

波斯坦-茉莉算法简介

这个东西是求分式第 \(n\) 项，即 \([x^n]\frac {f(x)}{g(x)}\) 的，而我们知道分式第 n 项和线性递推式可以很容易地互化的（后文会细说）。于是我们先看如何利用波斯坦-茉莉算法求解分式第 \(n\) 项。

\(\begin{aligned}&[x^n]\frac{f(x)}{g(x)}\\=&[x^n]\frac{f(x)g(-x)}{g(x)g(-x)}\\=&[x^n]\frac{c_{even}(x^2)+x\cdot c_{odd}(x^2)}{v(x^2)}\\=&[x^{n/2}]\frac{c_{even}(x)}{v(x)},N\text{ is even}\\&[x^{n/2}]\frac{c_{odd}(x)}{v(x)},N\text{ is odd} \end{aligned}\)

然后就可以 \(\mathcal{O}(k\log k\log n)\) 求出解。

示例代码如下：

int divAt(Poly F,Poly G, ll k){
	int i;
	for(;k;k>>=1){
		Poly R=G;
		// R=G(-x)
		for(i=1;i<R.size();i+=2)R[i]=mod-R[i];
		F*=R,G*=R;
		for(i=k&1;i<F.size();i+=2)F[i/2]=F[i];
		F.resize(i/2);
		for(i=0;i<G.size();i+=2)G[i/2]=G[i];
		G.resize(i/2);
	}
	return F.empty()?0:F[0]*qpow(G[0],mod-2)%mod;
}

应用场景：需要注意这一个算法要求模数是质数。

好，回到线性递推。

从线性递推到分式第 n 项

如果你会两者之间的转换，可以直接跳到第三节。

我们求分式第 \(n\) 项可以化作线性递推后求解：

设 \(\frac{f(x)}{g(x)}=h(x)\)，其中 \(deg(f)=m,deg(g)=k\)，则 \(f=g\ast h\)。

根据多项式乘法，项数 \(i\) 很大的时候 \(f_i=0\)， \(h\) 就是一个递推系数为 \(-\frac{g_{1\cdots k}}{g_0}\) 的线性递推式：

\(0=f_i=g_0h_i+g_1h_{i-1}+\cdots+g_{k}h_{i-k}\)

\(h_i=\sum_{j=1}^{k}\frac{-g_j}{g_0}h_{i-j}\)

而 \(h\) 的前 \(0\cdots m\) 项可以容易地通过 \(f\ast g^{-1}(\bmod x^k)\) 得出，于是可以求解。

\(m>k\) 的时候可以用 \(\frac fg\) 余数进行计算；\(m=k\) 的时候求出的是 \(h_0\cdots h_k\)，移一位即可获得答案。

参考实现如下（其中 get_an(F,A,n,k) 为与本题相同的含义）：

int div_at(Poly F,Poly G,ll n){
	int m=F.size(),k=G.size();
	if(m>k){
		Poly P=F/G,R=F-P*G;
		return div_at(R,G,n)+P.at(n);
	}
	Poly h=poly.inv(G,k)*F;
	if(m==k){
		for(int i=0;i<k&&i+1<h.size();i++)h[i]=h[i+1];
		n--;
	}
	h.cut(k-1); // 就是 h %= x^{k-1}
	int invg0=qpow(G[0],mod-2);
	G*=-invg0;
	return get_an(G,h,m,n-1);
} 

从分式第 n 项到线性递推

我们有一个以 \(F_{1\cdots k}\) 为递推系数的线性递推序列 \(h\)，想要构造 \(f,g\) 使得 \([x^n]\frac fg=h_n\)

首先，根据多项式乘法，构造项数 \(i\) 特别大的时候（\(f_i=0\)）的递推关系。套用上面的式子：

\(h_ig_0=\sum_{j=1}^{k}{-g_j}h_{i-j}\)

令 \(g_0=0,g_i=F_i(i\in[1,k])\)即可。

又：\(f=gh(\bmod x^k)\)

所以可以求出 \(f\) 的 \([0,k-1]\) 项。

参考实现：

int getAn(Poly F,Poly A,ll n,int k){
	F=Poly{1}-F;
	Poly f=A*F;
	f.cut(k); // 就是 h %= x^k
	return divAt(f,F,n);
} 

其中 divAt 套用波斯坦-茉莉算法即可，非常的方便。

代码

namespace POLY{
	int divAt(Poly F,Poly G, ll k){
		int i;
		for(;k;k>>=1){
			Poly R=G;
			// R=G(-x)
			for(i=1;i<R.size();i+=2)R[i]=mod-R[i];
			F*=R,G*=R;
			for(i=k&1;i<F.size();i+=2)F[i/2]=F[i];
			F.resize(i/2);
			for(i=0;i<G.size();i+=2)G[i/2]=G[i];
			G.resize(i/2);
		}
		return F.empty()?0:F[0]*qpow(G[0],mod-2)%mod;
	}
	int getAn(Poly F,Poly A,ll n,int k){
		F=Poly{1}-F;
		Poly f=A*F;f.cut(k);
		return divAt(f,F,n);
	} 
}
int main(){
	int i,x,n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	Poly F(k+1),A(k);
	F[0]=0;
	for(i=1;i<=k;i++){
		scanf("%d",&x);
		F[i]=(x+mod)%mod;
	}
	for(i=0;i<k;i++){
		scanf("%d",&x);
		A[i]=(x+mod)%mod;
	}
	printf("%d\n",POLY::getAn(F,A,n,k));
	return 0;
}

完整代码就是封装了一些多项式乘除法，就不贴了，不会多项式的大常数选手写的很垃圾。