2024解题报告

2024.3.4

A.「ROI 2017 Day 2」学习轨迹

题面：

给定两个二元组序列 \(\text{A}\) 和 \(\text{B}\)，每个二元组表示这个位置的数的编号与价值。

可以对于两个序列各选取一个区间（可以为空），使得两个区间中的数的编号不重复出现，要求在满足该条件的情况下，区间的价值和最大。

思路

首先来考虑最劣解是什么情况，可以发现最劣的情况是全选其中一个序列，另一个序列不选。

所以在分别进行区间选取的时候，一定有一个序列选取的区间里值的总和大于该序列中和的一半。

因为如果两个序列选取区间的取值和都不足该序列总和的一半，全选某个区间一定是更优的。

那先假定序列 \(\text{A}\) 选取的和超过一半，那其实可以得到一个必选的点。

假设这个点为 \(\text{p}\)，那么 \(\text{p}\) 需要满足的条件就是 \(\text{p}\) 的前缀和大于总和的一半， \(\text{p}\) 的后缀和大于总和的一半，这样，不管怎么选，\(\text{p}\) 一定会被选中，具体地说，\(\text{p}\) 就是前缀和第一个大于总和的一半的位置。

接下来考虑另一个序列 \(\text{B}\) 对序列 \(\text{A}\) 的影响。

可以发现，如果每次选择一个 \(\text{B}\) 中的值，如果这个值在 \(\text{A}\) 中出现过，那么一定可以确定一个 \(\text{A}\) 所选取的区间的左端点大于某个数或者右端点小于某个数。

原因是显然的，因为在 \(\text{B}\) 中选了的数在这 \(\text{A}\) 中一定不能再选了，所以自然可以为 \(\text{A}\) 确定一个范围。

性质的分析差不多结束了，那么接下来就可以考虑如何求解了。

可以考虑枚举 \(\text{B}\) 序列选择的右端点，然后使用个什么东西维护对于该右端点的最大值。

但具体该怎么维护呢？

想到 \(\text{A}\) 序列中存在一个必须选的点，那么可以根据类似分治的思想，以这个点为界限，分成左右两个部分考虑。

对于每个新枚举到的 \(\text{B}\) 序列中的数，如果在 \(\text{p}\) 的左边，那么在这个数之前的都要删除，如果在 \(\text{p}\) 的右边，那么在这个数之后的都要删除。

这个单调性显然可以使用一个递增的单调栈进行维护，每次加入的时候，先把栈中比这个数位置靠前或者靠后的贡献全部删掉，然后加入这个点的贡献。

贡献的改变可以使用一颗线段树进行维护，注意有点小技巧，在维护的过程中，不单只维护 \(\text{A}\) 的值，同时需要把 \(\text{B}\) 的区间贡献通过前缀和拆成两部分，把减掉的部分加入线段树中一起维护，加的那部分在枚举的时候直接加上就行，这样才能保证和是最优的。（建议结合代码理解）

最后把 \(\text{A}\)，\(\text{B}\) 序列交换再处理一遍即可。

时间复杂度： \(O(n \log n)\)