P5400 [CTS2019]随机立方体

来尝试一下从容斥的最底层来解决这道题目，已经看过巨佬推过了，只是自己再推一次加深印象。

首先我们定义三元组 \(p(x,y,z)\) 表示一个点，再定义集合 \(S=\{p_1,p_2,...,p_k\}\) 表示极大点的集合。

然后我们轻易得到对于这若干个极大点，不能出现两两存在相同的坐标，这是一个限制。

易得，\(|S|_{\max}=\min(n,m,l)\) 。

然后我们定义 \(F_S\) 表示钦定集合 \(S\) 中的点是极大点，其他点随便选的概率，我们考虑如何计算。

显然的两两极大点之间的概率并不是独立的，但是由于极大点是两两不等的（任意两点都是不等的），所以我们可以钦定一个大小排列顺序，我们按照从小到大的顺序加入，由于交集的部分已经满足了比小的小，所以我们不需要再钦定其大小关系了。

\[F_S=|S|!\prod_{i=1}^{|S|}\frac1{nml-(n-i)(m-i)(l-i)} \]

然后根据这个式子，我们可以轻易得到概率与具体的位置无关，只与 \(|S|\) 有关。

定于 \(f_i\) 为大小为 \(i\) 的 \(S\) 的 \(F_S\) 之和。

\[f_i=\sum_{|S|=i}F_S\\ =\sum_{|S|=i} i!\prod_{j=1}^{i}\frac1{nml-(n-j)(m-j)(l-j)}\\ =n^{\underline i}m^{\underline i}l^{\underline i}\prod_{j=1}^{i}\frac1{nml-(n-j)(m-j)(l-j)}\\ \]

我们设 \(g_i\) 表示恰好有 \(i\) 个极大点的概率，答案即是 \(g_k\) 。

\[f_i=\sum_{j=i}^{\min(n,m,l)}\binom{j}{i}g_j\\ g_i=\sum_{j=i}^{\min(n,m,l)}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f_j\\ \]

我们可以先将 \(\prod_{j=1}^{i}\frac1{nml-(n-j)(m-j)(l-j)}\\\) 预处理出来。然后再将 \(f_i\) 求出来，然后再将 \(g_k\) 求出来即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=5e6+5;
const int MOD=998244353;
int n,m,l,k;
int fact[N],ifact[N],ksm_1[N];
int ksm(int x,int k){
	int res=1;
	for(;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
	if(k&1) res=res*x%MOD;
	return res;
}
int dec_ksm(int x,int k){
	return fact[x]*ifact[x-k]%MOD;
}
int cal(int n,int m){
	if(n<0||m<0||n-m<0) return 0;
	return fact[n]*ifact[m]%MOD*ifact[n-m]%MOD;
}
int f[N],g[N],h[N];
void solve(){
	cin>>n>>m>>l>>k;
	int tot=min(n,min(m,l));
	g[0]=1;
	for(int i=1;i<=tot;++i) g[i]=g[i-1]*(n*m%MOD*l%MOD-(n-i)*(m-i)%MOD*(l-i)%MOD+MOD)%MOD;
	h[tot]=ksm(g[tot],MOD-2);
	for(int i=tot;i>=1;--i) h[i-1]=h[i]*(n*m%MOD*l%MOD-(n-i)*(m-i)%MOD*(l-i)%MOD+MOD)%MOD;
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=tot;++i) f[i]=h[i]*g[i-1]%MOD*f[i-1]%MOD;
	for(int i=1;i<=tot;++i) (f[i]*=dec_ksm(n,i)*dec_ksm(m,i)%MOD*dec_ksm(l,i)%MOD)%=MOD;
	int res=0;
	for(int i=k;i<=tot;++i) (res+=ksm_1[i-k]*cal(i,k)%MOD*f[i]%MOD)%=MOD;
	return printf("%lld\n",res),void();
}
signed main(){
	ksm_1[0]=1;
	for(int i=1;i<N;++i) ksm_1[i]=ksm_1[i-1]*(MOD-1)%MOD;
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<N;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%MOD;
	ifact[N-1]=ksm(fact[N-1],MOD-2);
	for(int i=N-1;i>=1;--i) ifact[i-1]=ifact[i]*i%MOD;
	int T;cin>>T;
	while(T--) solve();
	return 0;
}