GYM102759E Chemistry

说在前面的话

这道题目有点意思的，很具有启发性。

题解

我们考虑如何将链的条件转化为充要条件，发现链等价于所有点的度数小于等于 \(2\) 且 \(V-E=1\) 。

考虑怎么处理这两个问题。

对于第一个条件，可以轻易的发现是满足单调性的，所以我们可以直接双指针维护，这里有一些操作细节，就是要搞两个线段树以保证复杂度正确。

对于第二个条件，我们可以设 \(f_{l,r}=V_{l,r}-E_{l,r}\) ，即 \(f_{l,r}=r-l+1-E_{l,r}\) ，我们需要求的就是 \(f_{l,r}=1\) 的区间。

考虑对于一条边 \(e_{u,v}(u<v)\) ，他对于 \(f_{l,r}\) 的贡献是

\[f_{[1,u],[v,n]}=f_{[1,u],[v,n]}-1\\ f_{(u,v),(u,v)}=f_{(u,v),(u,v)} \]

但是如何数出 \(1\) 的个数呢？

我们结合第一个条件，最后答案肯定是要在双指针移动过程中求的。你考虑左指针的转移，对于函数 \(f_{l,r}\) 的影响是一个区间加减，不可能可以直接暴力求取。我们考虑维护出区间的最小值，同时输出最小值的个数来做。

但是你发现如果导出子图中存在环的话，就可能不满足最小值是 \(1\) 了，这个时候你可以再次利用双指针，找出每一个左指针对应的最右边的不存在环的位置，这个可以用 \(\text{LCT}\) 实现？

好像非常 \(\text{shit}\) ，我不想写了。

挖个坑吧，想写了就补上。