P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡

终于下定决心搞一下高斯消元了，打完模板就尝试来做一下这道题，发现一下子就秒掉了？

题解

直接考虑容斥加矩阵树定理，令 \(U\) 为工程队的全集，考虑强制令集合 \(S\) 中的建筑队不修路，\(f(S)\) 表示此方案下的生成树个数，则答案为

\[ans=\sum_{S\subseteq U} (-1)^{|S|}\cdot f(S) \]

\(f(S)\) 就直接通过矩阵树定理求。时间复杂度是 \(O(n^32^n)\) ，好像可以通过？

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=20;
const int MOD=1e9+7;
int n,a[N][N],b[N][N],res=0;
vector<pair<int,int> > bag[N];
int ksm(int x,int k){
	int res=1;
	for(;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
	if(k&1) res=res*x%MOD;
	return res;
}
void dfs(int now,int cnt){
	if(now>=n){
		for(int i=1;i<n;++i){
			for(int j=1;j<n;++j)
			b[i][j]=a[i][j];
		}
		for(int i=1;i<n;++i){
			for(int j=1;j<n;++j){
				if(i==j) continue;
				int del=b[j][i]*ksm(b[i][i],MOD-2)%MOD;
				for(int k=1;k<n;++k) b[j][k]+=MOD-del*b[i][k]%MOD,b[j][k]%=MOD;
			}
		}
		int sum=pow(MOD-1,cnt%2);
		for(int i=1;i<n;++i) sum*=b[i][i],sum%=MOD;
		res+=sum,res%=MOD;
		return ;
	}
	dfs(now+1,cnt+1);
	for(int i=0;i<(int)bag[now].size();++i){
		a[bag[now][i].first][bag[now][i].second]+=MOD-1;
		a[bag[now][i].first][bag[now][i].second]%=MOD;
		a[bag[now][i].second][bag[now][i].first]+=MOD-1;
		a[bag[now][i].second][bag[now][i].first]%=MOD;
		a[bag[now][i].first][bag[now][i].first]++;
		a[bag[now][i].first][bag[now][i].first]%=MOD;
		a[bag[now][i].second][bag[now][i].second]++;
		a[bag[now][i].second][bag[now][i].second]%=MOD;
	}
	dfs(now+1,cnt);
	for(int i=0;i<(int)bag[now].size();++i){
		a[bag[now][i].first][bag[now][i].second]++;
		a[bag[now][i].first][bag[now][i].second]%=MOD;
		a[bag[now][i].second][bag[now][i].first]++;
		a[bag[now][i].second][bag[now][i].first]%=MOD;
		a[bag[now][i].first][bag[now][i].first]+=MOD-1;
		a[bag[now][i].first][bag[now][i].first]%=MOD;
		a[bag[now][i].second][bag[now][i].second]+=MOD-1;
		a[bag[now][i].second][bag[now][i].second]%=MOD;
	}
}
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;++i){
		int m,u,v;scanf("%lld",&m);
		for(int j=1;j<=m;++j){
			scanf("%lld %lld",&u,&v);
			bag[i].push_back(make_pair(u,v));
		}
	}
	dfs(1,0),printf("%lld\n",res);
	return 0;
}