双映射的 mex 之和（组合数学，NTT，*）

求所有 \(n \to n\) 的映射 \(a, b\) 的 \(\text{mex}_i a_{b_i}\) 之和。

枚举 \(b_i\) 值集合大小两次反演得

\[X = \sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = 0} ^ i (-1) ^ j \binom ij \sum_{k = 0} ^ n (n - j) ^ k \binom nk n ^ {n - k} \sum_{l = 0} ^ k \binom kl (-1) ^ {k - l} l ^ n \]

令 $D_k = \binom nk n ^ {n - k} \sum_{l = 0} ^ k \binom kl (-1) ^ {k - l} l ^ n $，

\[\begin{aligned} X &= \sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = 0} ^ i (-1) ^ j \binom ij \sum_{k = 0} ^ n (n - j) ^ k D_k\\ &= \sum_{j = 0} ^ n (-1) ^ j \sum_{i = j} ^ n \binom ij \sum_{k = 0} ^ n (n - j) ^ k D_k - \sum_{k = 0} ^ n n ^ k D_k\\ &= \sum_{j = 0} ^ n (-1) ^ j {\color{#8844ff} \binom{n + 1}{j + 1}} \sum_{k = 0} ^ n (n - j) ^ k D_k - \sum_{k = 0} ^ n n ^ k D_k\\ \end{aligned} \]

令 \(k \le n: E_k = \sum_{j = 0} ^ n (-1) ^ j \binom{n + 1}{j + 1} (n - j) ^ k\)，

\[\begin{aligned} E_k &= -\sum_{j = 0} ^ n (-1) ^ {n + 1 - j} \binom {n + 1} j j ^ k\\ &= -\sum_{j = 0} ^ {n + 1} (-1) ^ {n + 1 - j} \binom {n + 1} j j ^ k + (n + 1) ^ k\\ &= {\color{#8844ff} -(n + 1)!S(k, n + 1)} + (n + 1) ^ k\\ &= (n + 1) ^ k\\ \end{aligned} \]

\[\therefore X = \sum_{k = 0} ^ n ((n + 1) ^ k - n ^ k) D_k \]

轻松卷积。

令人想不到的是，为了避免多项式多点插值 \((n - j) ^ k\)，竟然有如此投机取巧的化简方式（组合溢出），这个方式的入口又仅在 \(\binom {n + 1}{j + 1}\) 出现后才有可趁之机。就像有一个偶然出现的裂缝被题目用手遮住，实在是神秘。