代数几何初步(二)

仿射代数簇之间的映射

定义 1 多项式映射

设 \(X\subseteq \mathbb{A}^n,Y\subseteq \mathbb{A}^m\) 都是仿射代数簇，一个映射(不要求满) \(\phi:X\mapsto Y\) 如果由多项式函数 \(\overline{\phi_1},\cdots,\overline{\phi_m}\in \Gamma[X]\) 给出，即 \(\phi(x)=(\overline{\phi_1}(x),\cdots,\overline{\phi_m}(x))\in \mathbb{A}^m\) 则称 \(\phi\) 为多项式映射.其中 \(\overline{\phi_i}=\overline{\phi_i(x_1,\cdots,x_n)}\in \Gamma[X],\phi_i \in k[x_1,\cdots,x_n]\) .

使用多项式函数来定义多项式映射是自然的，因为 \(\forall x \in X,I(X)(x)=0 \Rightarrow \phi_i(x)=\overline{\phi_i}(x)\) .

很多时候不加声明的使用如下记号，\(Y\subseteq \mathbb{A}^m,\Gamma[Y]=k[y_1,\cdots,y_m]/I(Y),X\subseteq \mathbb{A}^n,\Gamma[X]=k[x_1,\cdots,x_n]/I(X),\overline{g}=\overline{g(y_1,\cdots,y_m)}=g(\overline{y_1},\cdots,\overline{y_m})\in \Gamma[Y]\).然而在有些情况下，我们甚至会混淆 \(g\) 和 \(\overline{g}\)，读者需要自己区分 .

例 多项式映射

\((1)\) \(\phi:\mathbb{A}^1 \rightarrow \mathbb{A}^2,t \mapsto (t^2,t^3)\) (\(0\) 总是素元，所以 \(\mathbb{A}=V(0)\) 是仿射代数簇 .)
\((2)\) 一个仿射代数簇上的多项式函数 $ f: X \to k $ 就是一个多项式映射 \(f: X \to \mathbb{A}^1\)。
\((3)\) 如果 $ Y \subset \mathbb{A}^n $ 是一个仿射代数簇，那么包含映射 \(\imath: Y \to \mathbb{A}^n\) 是一个多项式映射。（\(\imath(y_1,\cdots,y_n)=(y_1,\cdots,y_n)\)）
\((4)\) 从双曲线 \(V(xy - 1)\) 到仿射直线 \(\mathbb{A}^1\) 的映射(按第一分量第一投影) \((x, y) \mapsto x: V(xy - 1) \to \mathbb{A}^1\) 是一个多项式映射。注意，该映射的像为 \(\mathbb{A}^1 \backslash \{0\}\)，这样的像不是闭集(一维的时候闭集是有限点集)。
\((5)\) \(\phi:V(xy-1)\subseteq \mathbb{A}^2\rightarrow \mathbb{A}^1,(x,y)\mapsto \overline{x^2}\)
\((6)\) 映射 \(t \stackrel{\varphi}{\mapsto} (t^2, t^3) : \mathbb{A}^1 \to V(x^3 - y^2)\) 是一个多项式映射。它实际上是一个双射。作为函数，它的逆映射为

\[(x, y) \stackrel{\varphi^{-1}}{\mapsto} \begin{cases} \frac{y}{x}, & \text{如果} \, x \neq 0, \\ 0, & \text{如果} \, x = 0. \end{cases} \]

可以证明 \(\varphi^{-1}\) 并不是多项式映射。

使用定理 \(2\),要比较的多项式函数环分别为 \(k[x]\) 和 \(\frac{k[x,y]}{(x^3-y^2)}\cong k[x,x^{\frac{3}{2}}]\),然而这两个多项式函数环不是 \(k\)-代数同构的。(前者为主理想整环，而 \(k[x,x^{\frac{3}{2}}]\) 中的理想 \((x,x^{\frac{3}{2}})\) 不是主理想)

定义 2 多项式同构

如果 $ X, Y $ 都是仿射代数簇（可以位于不同仿射空间中），则映射 $ \varphi: X \to Y $ 是多项式同构映射当且仅当它是双射且 $ \varphi $ 和 $ \varphi^{-1} $ 都是多项式映射，此时称 \(X\) 和 \(Y\) 多项式同构 .

例 多项式同构

\((1)\) 上一个例子中的 \((6)\) 是双射，实际上也是 \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑下的同胚，但它不是同构映射。这是因为 $ \varphi^{-1} $ 不是多项式映射。
\((2)\) 映射 $ t \mapsto (t, t^m) : \mathbb{A}^1 \to V(y - x^m) $ 从仿射直线到（广义的）抛物线是多项式同构映射。它的逆映射是 $ (x, y) \mapsto x $。

命题 1 多项式映射的拉回

设 \(\phi:X\rightarrow Y\) 为多项式映射，则 \(\phi\) 诱导 \(k\)-代数同态 \(\phi^*:\Gamma[Y]\rightarrow\Gamma[X],\overline{g}\mapsto g(\phi(x))\)(更严谨的记号应当是 \(\overline{g}\mapsto \overline{g}\circ\phi\)) .(\(\phi^*\) 称为 \(\phi\) 的拉回 .)

证明： 不妨设 \(X\subseteq \mathbb{A}^n,Y\subseteq \mathbb{A}^m\),\(\overline{g}(\phi(x))=g(\overline{\phi_1}(x),\cdots,\overline{\phi_m}(x))\in \Gamma[X]\),这是因为多项式的多项式还是多项式。还需说明良定义(不依赖属于同一个 \(\overline{g}\) 的 \(g\) 的选取),这是因为 \(\phi(x)\in Y,I(Y)(\phi(x))=0\Rightarrow g(\phi(x))=\overline{g}(\phi(x))\).所以这个映射也可以直接记为 \(\phi^*:\Gamma[Y]\rightarrow \Gamma[X],\overline{g}\mapsto \overline{g}(\phi(x))\).还需证明其为 \(k\)-代数同态.这是显然的，因为 \(\forall \overline{g},\overline{f}\in \Gamma[Y],(f+g)(\phi(x))=f(\phi(x))+g(\phi(x)),fg(\phi(x))=f(\phi(x))g(\phi(x)),\phi^*(k\overline{g})=k\phi^*(\overline{g})\),显然保持常值 \(k\) 映射不变.\(\square\)

由于考察的是函数环里的元素，彼此不同 \(\Leftrightarrow\) 赋值不同，而赋值映射性质很好，所以验证 \(k\)-代数同态如此简单。

例 嵌入映射的拉回

如果 $ Y \subseteq \mathbb{A}^n $ 是一个闭子集，且 $ \imath: Y \to \mathbb{A}^n $ 是嵌入映射，则 $ \imath^* $ 是商映射 $ k[y_1,\cdots,y_n] \to \Gamma[Y]$。(从 \(Y\) 出发的多项式函数自动 \(\in \Gamma[Y]\),这个例子的目的主要是给出当 \(\imath\) 是单射时,\(\imath^*\) 是满射的例子。当然这并不是一个相当准确的说法)这是命题 \(6\) 的特例。

定理 2

设 \(X\subseteq \mathbb{A}^n,Y\subseteq \mathbb{A}^m\) 都是仿射代数簇,则多项式映射集 \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{Poly}}(X,Y)\overset{1:1对应}{\longleftrightarrow}\mathrm{Hom}_{\mathrm{k-alg}}(\Gamma[Y],\Gamma[X])\)

\(k\)-代数同态的意思是：首先这两个环都是 \(k\)-代数(包含 \(k\) 的环)，其次这个同态是环同态并且把 \(k\) 映射到 \(k\).

证明：
"\(\rightarrow\)":\(\phi \rightarrow \phi^*\) .
"\(\leftarrow\)":设 \(\eta:\Gamma[Y]\rightarrow \Gamma[X]\) 为 \(k\)-代数同态。不难注意到：\(\eta\) 由 \(\eta(\overline{y_i}),i=1,\cdots,m\) 唯一确定。令 \(u_i=\eta(\overline{y_i})\in \Gamma[X]\),定义 \(\varphi_\eta:X\rightarrow Y,x\mapsto (u_1(x),\cdots,u_m(x))\),需要验证 \(\varphi_\eta(X)\subseteq Y\Leftrightarrow \forall g\in I(Y),\forall x\in X,g(\varphi_\eta(x))=0\),而 \(g(\varphi_\eta(x))=g(\eta(\overline{y_1})(x),\eta(\overline{y_2})(x),\cdots,\eta(\overline{y_m})(x)):=\mathcal{S}\),揣摩最后这个式子，\(\mathcal{S}=\) 以诸 \(\eta(\overline{y_i})(x)\) 为变元的多项式,由 \(\eta\) 是 \(k\)-代数同态以及赋值映射的特性，可知 \(\mathcal{S}=\eta(g(\overline{y_1},\cdots,\overline{y_m}))(x)\)，由 \(g\in I(Y)\) 并且 \(\eta\) 应当将 “\(0\)” 映到 “\(0\)”,所以 \(\eta(g(\overline{y_1},\cdots,\overline{y_m}))\in I(X)\),因此 \(\mathcal{S}=0\) .
一一对应：\(\phi\rightarrow\phi^*\rightarrow\varphi_{\phi^*},\varphi_{\phi^*}(x)=(\phi^*(\overline{y_1})(x),\cdots,\phi^*(\overline{y_m})(x))=(\overline{y_1}(\phi(x)),\cdots,\overline{y_m}(\phi(x)))=\phi(x)\),另一方面,\(\eta\rightarrow\varphi_\eta\rightarrow \varphi_\eta^*,\varphi_\eta^*(\overline{g})=\overline{g}\circ\varphi_\eta=\eta\circ\overline{g}\) .\(\square\)

仿射代数簇构成的范畴与多项式函数环之间构成的范畴反变等价

证明关键：注意到：\(\eta\) 由 \(\eta(\overline{y_i})\in \Gamma[X],i=1,\cdots,m\) 唯一确定,然后用这 \(m\) 个多项式映射拼出一个 \(X\rightarrow Y\) 的多项式映射,剩下的事情就是验证细节了。

命题 3

设 $ X \subseteq \mathbb{A}^n $ 和 $ Y \subseteq \mathbb{A}^m $ 都是仿射代数簇,对于多项式函数环的每个 \(k\)-代数同态 \(\Phi: \Gamma[Y] \longrightarrow \Gamma[X]\), 存在唯一的多项式映射 \(\varphi: X \longrightarrow Y\) , 使得 \(\Phi=\varphi^*\).

证明： 这是定理 \(2\) 的推论.\(\square\)

定理 4 多项式同构的判定

设 $ X \subseteq \mathbb{A}^n $ 和 $ Y \subseteq \mathbb{A}^m $ 都是仿射代数簇，则 \(X\) 和 \(Y\) 是多项式同构的当且仅当 \(\Gamma[X]\) 和 \(\Gamma[Y]\) 作为 \(k\)-代数是同构的。

证明：
"\(\Rightarrow\)":若 \(\varphi\) 是多项式同构映射，则存在多项式映射 \(\psi:Y\rightarrow X\) 满足 \(\varphi\circ\psi =1_Y,\psi\circ\varphi =1_X\),根据命题 \(1\),我们有多项式函数环之间的 \(k\)-代数同态 \(\varphi^*:\Gamma[Y]\rightarrow\Gamma[X]\) 和 \(\psi^*:\Gamma[X]\rightarrow \Gamma[Y]\) 满足

\[\varphi^*\psi^*=(\psi\circ\varphi)^*=1_X^*=1_{\Gamma[X]}\\ \psi^*\varphi^*=(\varphi\circ\psi)^*=1_Y^*=1_{\Gamma[Y]} \]

所以 \(\Gamma[Y]\) 和 \(\Gamma[X]\) 是 \(k\)-代数同构的 .

"\(\Leftarrow\)":设环 \(\Gamma[X]\) 和 \(\Gamma[Y]\) 是 \(k\)-代数同构的，于是有 \(k\)-代数同构

\[F: \Gamma[X] \longrightarrow \Gamma[Y], G: \Gamma[Y] \longrightarrow \Gamma[X] \]

使得 \(F \circ G=1_{\Gamma[Y]}, G \circ F=1_{\Gamma[X]}\). 由命题 \(3\), 存在多项式映射

\[\varphi: X \longrightarrow Y, \psi: Y \longrightarrow X \]

使得 \(\varphi^*=G, \psi^*=F\) 。于是 \((\psi \varphi)^*=\varphi^* \psi^*=G F=1_{\Gamma[X]}\). 由唯一性(\(k\)-代数同构 \(1_{\Gamma[X]}\) 对应的多项式映射也应当是唯一的)可知 \(\psi \circ \varphi=1_X\).同样知 \(\varphi \circ \psi=1_Y\), 从而仿射代数簇 \(X\) 和 \(Y\) 同构. \(\square\)

实际上定理 \(4\) 是定理 \(2\) 的直接推论(可能高手能直接看出来)，不过我们还是经过命题 \(3\) 给了一个完整的证明。

有时我们不直接考虑仿射代数簇，而是考虑一般的闭集，这时它们其上的多项式函数环(也叫做坐标环)不再是整环。

定义 3 支配的多项式映射

一个多项式映射 \(\phi: X \rightarrow Y\) 被称为支配性的，当且仅当 \(\phi(X)\) 在 \(Y\) 中是稠密的，即 \(\overline{\phi(X)} = Y\)。

命题 5 单同态拉回

设 \(X, Y\) 是两个闭子集，有多项式映射 \(\phi: X \rightarrow Y\)。
\((1)\) \(\phi\) 是支配性的，当且仅当 \(\phi^*: \Gamma(Y) \rightarrow \Gamma(X)\) 是单射。
\((2)\) 如果 \(X\) 是不可约的并且 \(\phi\) 是支配性的，那么 \(Y\) 是不可约的。

证明:
\((1)\) 假设 \(\phi = (\phi_1, \ldots, \phi_m)\)。对于任意的 \(\overline{g} \in \Gamma(Y)\)，有 \(\phi^*(\overline{g}) = \overline{g(\phi_1, \ldots, \phi_s)}\)。则 \(\overline{g} \in \operatorname{ker}(\phi^*)\Leftrightarrow g(\phi_1, \ldots, \phi_m) \in I(X)\Leftrightarrow \forall x \in X,g\circ\phi(x)=0\Leftrightarrow\) 对所有 \(x \in X\)，有 \(\phi(x) \in V(g) \cap Y=V_Y(g)\) .

如果 \(\phi^*\) 不是单射，则 \(\ker{\phi^*}\not ={0}\),故可以选择 \(\overline{g}\in \ker{\phi^*}\) 但 \(g\notin I(Y)\) ，因此开集 \(D_g = Y \backslash V_Y(g)\) 非空.并且由以上推导可知 \(\mathrm{Im}\phi\subseteq V_Y(g)\),由 \(V_Y(g)\cap Y\backslash V_Y(g)=\varnothing\Rightarrow\overline{\mathrm{Im}(\phi)}\subsetneq {Y}\),这与 \(\phi\) 的支配性矛盾.

反过来，如果像集不是稠密的，则可以找到一个非空开集 \(U \subset Y\)，使得 \(\operatorname{Im}(\phi) \subset Y \backslash U\)。后者是一个 \(Y\) 的真闭子集，因此 \(I(Y)\subsetneq I(Y\backslash U)\),因此存在 \(g \in I(Y \backslash U) \backslash I(Y)\)。此时根据第一段的推导知 \(\overline{0} \neq \overline{g} \in \operatorname{ker}(\phi^*)\)，与 \(\phi^*\) 是单射矛盾。

为了证明 \((2)\)，注意到根据 \((1)\)，\(\Gamma(Y)\) 是 \(\Gamma(X)\) 的一个子代数。由于 \(X\) 是不可约的，\(\Gamma(X)\) 是一个整环，因此 \(\Gamma(Y)\) 也必须是整环。\(\square\)

也就是说，支配的多项式映射必定将仿射代数簇映至仿射代数簇。或者说，从仿射代数簇出发的多项式映射的像集的闭包必定是仿射代数簇。

命题 6

\(k\)-代数同态 \(\varphi^*: \Gamma[Y] \to \Gamma[X]\) 是满同态 \(\Leftrightarrow\) 多项式映射 $\varphi: X \to Y $ 是一个单射,而且像 \(\mathrm{Im}\varphi\) 为 \(Y\) 的一个闭子集.

证明：
"\(\Leftarrow\)":假设 $ \varphi: X \to Y $的一个闭子集 \(\mathrm{Im}\varphi\) 是一个多项式同构映射，那么我们有以下映射：

\[X \to \mathrm{Im}\varphi \hookrightarrow Y, \]

其中第一个映射是多项式同构。取拉回后，我们得到：

\[\Gamma[X] \leftarrow \Gamma[\mathrm{Im}\varphi] \leftarrow \Gamma[Y]. \]

由于 $ \varphi: X \to \mathrm{Im}\varphi $ 是多项式同构映射，因此 $ \Gamma[\mathrm{Im}\varphi] \to \Gamma[X] $ 是同构映射(定理 \(4\))。由于 $ \mathrm{Im}\varphi $ 是 $ Y $ 的闭子集，因此 $ \Gamma[Y] \to \Gamma[\mathrm{Im}\varphi] $ 是满射(和嵌入映射的拉回那个例子同理)。特别地，映射 $ \Gamma[Y] \to \Gamma[X] $ 是满射映射的复合，因此它是满射的。

"\(\Rightarrow\)":假设反过来 $ \Gamma[Y] \to \Gamma[X] $ 是满射。设 \(\mathrm{Im}\varphi\) 是 \(\varphi\) 在 $ Y $ 中的像，并且设 \(\overline{\mathrm{Im}\varphi}\) 是其 \(\mathrm{Zariski}\) 闭包，因此 \(\overline{\mathrm{Im}\varphi}\) 是 \(Y\) 的闭子集。然后我们有映射：

\[X \to \overline{\mathrm{Im}\varphi} \hookrightarrow Y, \]

取拉回后，我们得到：

\[\Gamma[X] \leftarrow \Gamma[\overline{\mathrm{Im}\varphi}] \leftarrow \Gamma[Y]. \]

根据 \(\overline{\mathrm{Im}\varphi}\) 的定义，映射 \(X \to \overline{\mathrm{Im}\varphi}\) 是支配性的，这意味着映射 \(\Gamma[\overline{\mathrm{Im}\varphi}] \to \Gamma[X]\) 是单射(命题 \(5\))。由于 \(\Gamma[Y] \to \Gamma[X]\) 是满射，映射 \(\Gamma[\overline{\mathrm{Im}\varphi}] \to \Gamma[X]\) 也是满射。因此 \(\Gamma[\overline{\mathrm{Im}\varphi}] \to \Gamma[X]\) 是同构映射。由定理 \(4\)，$ X \to \overline{\mathrm{Im}\varphi} $ 也是同构映射，我们完成了证明，因为 \(\varphi\) 同构映射到 \(Y\) 的一个闭子集 \(\overline{\mathrm{Im}\varphi}\)。\(\square\)

关于双曲线投影到仿射直线的例子表明，多项式映射的像可能是稠密的，即使这个多项式映射不是满射。
更一般地，每个 \(k\)-代数同态 \(\varphi^*: \Gamma[Y] \rightarrow \Gamma[X]\) 都可以写成一个满同态与一个单同态的复合：

\[\Gamma[Y] \twoheadrightarrow \operatorname{Im}(\varphi^*) \hookrightarrow \Gamma[X] . \]

在几何上，这对应于将 \(\varphi: X \rightarrow Y\) 写成一个支配性映射与一个包含映射的组合：

\[X \twoheadrightarrow \overline{\varphi(X)} \hookrightarrow Y . \]

(这个过程的严谨证明已经体现在命题 \(6\) 的证明中了.)

命题 6 的另一种证法

\(k\)-代数同态 \(\varphi^*: \Gamma[Y] \to \Gamma[X]\) 是满同态 \(\Leftrightarrow\) 多项式映射 $\varphi: X \to Y $ 是一个单射,而且像 \(\mathrm{Im}\varphi\) 为 \(Y\) 的一个闭子集,并且此时有 \(X = V_Y(\operatorname{ker} \varphi^*)\).
(我们仅证明“\(\Rightarrow\)”)
证明：
假设 \(\varphi: X \rightarrow Y\) 是仿射代数簇的同态，使得 \(\varphi^*: \Gamma[Y] \rightarrow \Gamma[X]\) 是满射。那么,\(\varphi^*\) 诱导了代数同构 \(\Gamma[Y] / \operatorname{ker}\left(\varphi^*\right) \rightarrow \Gamma[X]\) 。由于 \(\Gamma[X]\) 是整环的， \(\operatorname{ker}\left(\varphi^*\right)\) 是一个素理想。因此， \(V_Y\left(\operatorname{ker}\left(\varphi^*\right)\right) \subseteq Y\) 是一个闭子集，其坐标环(多项式函数环)为 \(\Gamma[Y] / \operatorname{ker}\left(\varphi^*\right)\) 。然后， \(\Gamma[Y] / \operatorname{ker}\left(\varphi^*\right) \cong \Gamma[X]\) 的同构给出了所需的同构 \(X \cong V\left(\operatorname{ker}\left(\varphi^*\right)\right)\)(注意到我们这一节并没有用到仿射代数簇不可约这一性质，实际上这一整套概念都是可以对闭子集定义且上述定理和命题都是成立的，毕竟这些定理和命题的证明我们也没有用到不可约性。所以我们当然有闭子集的函数环代数同构 \(\Leftrightarrow\) 闭子集之间多项式同构).\(\square\)