代数几何初步（一）
拓扑预备知识回顾
定义 0.1
设 \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集, 点 \(x \in A\). 如果存在开集 \(U\), 使得 \(x \in U \subset A\), 则称 \(x\) 是 \(A\) 的一个内点, \(A\) 是 \(x\) 的一个邻域. \(A\) 的所有内点的集合称为 \(A\) 的内部, 记作 \(\mathring{A}\) (或 \(A^{\circ}\) ).
命题 0.1
\((1)\) 若 \(A \subset B\), 则 \(\mathring{A} \subset \mathring{B}\) .
\((2)\) \(\mathring{A}\) 是包含在 \(A\) 中的所有开集的并集，因此是包含在 \(A\) 中的最大开集 .
\((3)\) \(\mathring{A}=A \Longleftrightarrow A\) 是开集 .
\((4)\) \((A \cap B)^{\circ}=\mathring{A} \cap \mathring{B}\) .
\((5)\) \((A \cup B)^{\circ} \supseteq \mathring{A} \cup \mathring{B}\) .
证明： 自证不难。关于 \((5)\) 的反例，考虑 \(A=\) 开圆盘去掉圆心，\(B=\) 圆心 .\(\square\)
定义 0.2
设 \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集, \(x \in X\). 如果 \(x\) 的每个邻域都含有 \(A \backslash\{x\}\) 中的点, 则称 \(x\) 为 \(A\) 的聚点. \(A\) 的所有聚点的集合称为 \(A\) 的导集, 记作 \(A^{\prime}\). 称集合 \(\bar{A}:=A \cup A^{\prime}\) 为 \(A\) 的闭包.
由定义不难推出: \(x \in \bar{A} \Leftrightarrow x\) 的任一邻域与 \(A\) 都有交点.
闭包与内部这两个概念有密切关系, 具体表现为
命题 0.2
若拓扑空间 \(X\) 的子集 \(A\) 与 \(B\) 互为余集, 则 \(\bar{A}\) 与 \(\mathring{B}\) 互为余集.
证明: \(x \in \bar{A}^c \Longleftrightarrow x\) 有邻域与 \(A\) 不相交 \(\Longleftrightarrow x\) 有邻域包含在 \(B\) 中 \(\Longleftrightarrow x\) 是 \(B\) 的内点,因此 \(\bar{A}^c=\mathring{B}\) .\(\square\)
命题 0.3
\((1)\) 若 \(A \subset B\), 则 \(\bar{A} \subset \bar{B}\) .
\((2)\) \(\bar{A}\) 是所有包含 \(A\) 的闭集的交集，所以是包含 \(A\) 的最小的闭集 .
\((3)\) \(\bar{A}=A \Longleftrightarrow A\) 是闭集.特别的，单点集总是闭集 .
\((4)\) \(\overline{A \cup B}=\bar{A} \cup \bar{B}\) .
\((5)\) \(\overline{A \cap B} \subset \bar{A} \cap \bar{B}\) .
证明： 自证不难。反例 \((5)\) 考虑 \(A=\) 开圆盘去掉圆心，\(B=\) 圆心 .\(\square\)
定义 0.3
拓扑空间 \(X\) 的子集 \(A\) 称为稠密的, 如果 \(\bar{A}=X\).
命题 0.4
\(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的椆密子集 \(\Longleftrightarrow X\) 的每个非空开集与 \(A\) 相交非空.
证明： 自证不难。\(\square\)
定义 0.4
设 \(A\) 是拓扑空间 \((X, \tau)\) 的一个非空子集.规定 \(A\) 的子集族
容易验证 \(\tau_A\) 是 \(A\) 上的一个拓扑, 称为 \(\tau\) 导出的 \(A\) 上的子空间拓扑，称 \(\left(A, \tau_A\right)\) 为 \((X, \tau)\) 的子空间。
\((1)(U_1\cap A)\cup (U_2\cap A)=A\cap(U_1\cup U_2)\quad (2)(U_1\cap A)\cap (U_2\cap A)=(U_1\cap U_2)\cap A\quad (3)A=A\cap X,\varnothing=\varnothing \cap A\)
以后，对拓扑空间的子集都将看作拓扑空间，即子空间。
现在设 \(A\) 是拓扑空间 \((X, \tau)\) 的子集, \(B\) 又是 \(A\) 的子集. 于是 \(B\) 有两个途径得到子空间拓扑：直接作为 \(X\) 的子空间和看作 \(\left(A, \tau_A\right)\)的子空间。事实上它们是一样的, 记 \(\left(\tau_A\right)_B\) 是 \(\tau_A\) 导出的 \(B\) 上的拓扑, 则
对于子空间 \(A\) 的子集 \(U\) ，笼统地说 \(U\) 是不是开集意义就不明确了，必须说明在 \(A\) 中看还是在全空间中看，这两者是不同的。例如, \(\boldsymbol{E}^1\) 是 \(\boldsymbol{E}^2\) 的子空间, 开区间 \((0,1)\) 在 \(\boldsymbol{E}^1\) 中是开集, 而在 \(\boldsymbol{E}^2\) 中不是开集. 因此开集概念是相对概念. 同样，闭集、邻域、内点、内部、聚点和闭包等等概念也都是相对概念.
命题 0.5
设 \(X\) 是拓扑空间, \(C \subset A \subset X\), 则 \(C\) 是 \(A\) 的闭集 \(\Longleftrightarrow C\) 是 \(A\) 与 \(X\) 的一个闭集之交集 .
证明： \(C\) 是 \(A\) 的闭集 \(\Longleftrightarrow A \backslash C\) 是 \(A\) 的开集 \(\Longleftrightarrow\) 存在 \(X\) 中开集 \(U\), 使得 \(A \backslash C=U \cap A\) \(\Longleftrightarrow\) 存在 \(X\) 中开集 \(U\), 使得 \(C=U^{c} \cap A\) \(\Longleftrightarrow C\) 是 \(X\) 中一个闭集与 \(A\) 之交集 .\(\square\)
命题 0.6
设 \(X\) 是拓扑空间, \(B \subset A \subset X\), 则
\((1)\) 若 \(B\) 是 \(X\) 的开（闭）集,则 \(B\) 也是 \(A\) 的开（闭）集;
\((2)\) 若 \(A\) 是 \(X\) 的开（闭）集, \(B\) 是 \(A\) 的开（闭）集,则 \(B\) 也是 \(X\) 的开（闭）集.
\((3)\) 若 \(A\) 有开覆盖 \(\{U_i|i\in \mathcal{I}\}\),并且开覆盖的每个开集 \(U_i\) 内有相对于 \(U_i\) 的真闭子集 \(V_i\)，则 \(\bigcup_{i \in \mathcal{I}} V_i\) 是 \(A\) 的闭集.
证明：
\((1)\) \(B=B \cap A\), 因此当 \(B\) 是 \(X\) 的开（闭）集时, 根据子空间拓扑的定义以及命题 \(0.5\)， \(B\) 也是 \(A\) 的开（闭）集。
\((2)\) 设 \(B\) 是 \(A\) 的开（闭）集，根据子空间拓扑的定义以及命题 \(0.5\), 存在 \(X\) 的开（闭）集 \(U\), 使得 \(B=U \cap A\). 而 \(A\) 也是 \(X\) 中开（闭）集,因此 \(B\) 是 \(X\) 的开（闭）集.
\((3)\) 只需证明这个并集外的每个点都是内点即可，这是易证的.\(\square\)
用序列语言: 如果序列 \(\left\{x_n\right\}\) 收敛到 \(x_0\), 则序列 \(\left\{f\left(x_n\right)\right\}\) 收敛到 \(f\left(x_0\right)\) .
用 \(\varepsilon-\delta\) 语言: 对任意正数 \(\varepsilon>0\), 总可找到 \(\delta>0\), 使得当 \(\left|x-x_0\right|\) \(<\delta\) 时, \(\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon\) .
用开集语言: 若 \(V\) 是包含 \(f\left(x_0\right)\) 的开集,则存在包含 \(x_0\) 的开集 \(U\), 使得 \(f(U) \subset V\) .
定义 0.5
设 \(X\) 和 \(Y\) 都是拓扑空间, \(f: X \rightarrow Y\) 是一个映射, \(x\) \(\in X\), 如果对于 \(Y\) 中 \(f(x)\) 的任一邻域 \(V, f^{-1}(V)\) 总是 \(x\) 的邻域, 则说 \(f\) 在 \(x\) 处连续 .
容易看出，如果把定义中"任一邻域 \(V\) "改成"任一开邻域 \(V\) " （即包含 \(f(x)\) 的任一开集 \(V\) ），那么定义的意义不变。因此 \(f\) 在点 \(x\) 处连续也就是"对包含 \(f(x)\) 的每个开集 \(V\), 必存在包含 \(x\) 的开集 \(U\), 使得 \(f(U) \subset V\)", 这就是上述连续性定义的开集语言 .
如果映射 \(f: X \rightarrow Y\) 在任一点 \(x \in X\) 处都连续,则说 \(f\) 是连续映射 .
命题 0.7
设 \(f: X \rightarrow Y\) 是映射, 下列各条件互相等价:
\((1)\) \(f\) 是连续映射 .
\((2)\) \(Y\) 的任一开集在 \(f\) 下的原像是 \(X\) 的开集 .
\((3)\) \(Y\) 的任一闭集在 \(f\) 下的原像是 \(X\) 的闭集.
证明：
\((1)\Rightarrow (2)\) 设 \(V\) 是 \(Y\) 的开集, \(U=f^{-1}(V) . \forall x \in U\), \(V\) 是 \(f(x)\) 的邻域, 由于 \(f\) 在 \(x\) 连续, \(x\) 是 \(U\) 的内点. 由 \(x\) 的任意性, \(U=\mathring{U}\) 是开集 .
\((2)\Leftrightarrow(3),(2)\Leftarrow (1)\) 都是显然的，自证不难 .\(\square\)
定义 0.6
假设 \(X\) 是拓扑空间。设 \(x\) 和 \(y\) 是 \(X\) 中的点。如果存在 \(x\) 的邻域 \(U\) 和 \(y\) 的邻域 \(V\) 使得 \(~ U\) 和 \(V\) 是不相交的 \((U \cap V=\varnothing)\) ，我们称 \(x\) 和 \(y\) 可以 "由邻域分离"。\(X\) 是豪斯多夫空间如果任何两个 \(X\) 的不同的点可以都由邻域分离。这也是豪斯多夫空间又叫做分离空间的原因。
命题 0.8
设 $ f $ 和 $ g $ 是从拓扑空间 $ X $ 到拓扑空间 $ Y $ 的连续映射，$ E $ 是 $ X $ 的稠密子集,且对于所有 $ p \in E $，都有 $ g(p) = f(p) \(，则我们有
\)(1)$ $ f(E) $ 是 $ f(X) $ 中的稠密子集 .
\((2)\) 若 \(Y\) 是 \(\mathrm{Hausdorff}\) 空间，则对于所有 $ p \in X $，都有 $ g(p) = f(p) $ .
证明：
\((1)\) 不妨设 \(f\) 是满射,假设 $ U $ 是 $ Y = f(X) $ 中的开集，使得 $ U \cap f(E) = \emptyset $。则有 $ (f^{-1}(U) \cap E)\subseteq (f^{-1}(U)\cap f^{-1}(f(E))) = \emptyset $，因此，由稠密性可得 $ f^{-1}(U) = \emptyset $，所以 $ U = \emptyset \(。因此，\) f(X) $ 中的每个非空开集都与 $ f(E) $ 有非空交集，这就是稠密性 .
\((2)\) 注意到 $ W = { x \in X : f(x) \neq g(x) } $ 在 $ X $ 中是开集。实际上，如果 $ x \in W $，取 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的不相交邻域 $ U_1 $ 和 $ U_2 $，然后 $ V = f^{-1}(U_1) \cap g^{-1}(U_2) $ 是 $ x $ 的一个邻域，并且 $ V \subseteq W $,即 \(x \in \mathring{W}\)。因此，$ W $ 是开集 .
因此，$ E \subseteq X \setminus W $.由于 $ X \setminus W $ 是闭集，并且由稠密性 $ X $ 是唯一包含 $ E $ 的闭子集，于是 \(W=\varnothing\) .\(\square\)
仿射代数集
定义 1 仿射代数集
记 \(\mathbb{A}_k^n=k^n\), 称作仿射空间;
其中的一个仿射代数集指的是 \(k\left[x_1, \cdots, x_n\right]\) 中一族多项式 \(S\) 的公共零点集:
\(V(f)\) 称作 \(\mathbb{A}_k\) 中的仿射超曲面，由域上多项式环的 \(\mathrm{Noether}\) 性以及命题 \(2\) 可知仿射代数集是有限个超曲面的交集。
例 仿射代数集
\(V\left(x^2+y^2+1\right) \subset \mathbb{A}^2\). 当域 \(k\) 为实数域时,该仿射代数集为空集。
命题 1
其中 \((S)\) 指由多项式族 \(S\) 在 \(k\left[x_1, \cdots, x_n\right]\) 中生成的理想。
证明： 自证不难。\(\square\)
命题 2 \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑
\((1)\) \(V\left(\bigcup_i S_i\right)=\bigcap_i V\left(S_i\right)\) —— \(V(S_i)\) 对无限交运算封闭
\((2)\) \(V\left(S_1\right) \bigcup V\left(S_2\right)=V\left(\left\{f_i g_j \mid f_i \in S_1, g_j \in S_2\right\}\right)\) —— \(V(S_i)\) 对有限并运算封闭,对无限并运算不封闭，这是因为在代数里，多项式的无限乘积并不是一个合法的对象。
\((3)\) \(\varnothing = V(R=k[x_1,\cdots,x_n]),\mathbb{A}^n=V(0)\) —— 空集、全集都可以表成 \(V(S)\) 的形式。
证明： 自证不难。\(\square\)
推论
将仿射代数集作为仿射空间 \(\mathbb{A}_k^n=k^n\) 的闭集, 则得到 \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑.
定理 3 \(\mathrm{Noether}\) 环的刻画
\(R\) 是一个含幺交换环(如无特别要求，此后遇到的环均假定是含幺交换环)，则以下三条等价：
\((1)\) \(R\) 满足 \(\mathrm{A C C}\) (Ascending chain condition) 升链条件, 即 \(R\) 中的理想升链 \(I_1 \subset I_2 \subset\) \(\cdots \subset I_n \subset \cdots\) 必稳定，即存在 \(N\) 使得 \(I_N=I_{N+1}=\cdots\) .
\((2)\) \(R\) 满足极大性条件，即 \(R\) 中由理想构成的非空集合 \(\mathcal{F}\) 都有极大元(在包含关系下).
\((3)\) \(R\) 的所有理想都是有限生成的.
证明： 自证不难或者查阅教科书。\(\square\)
定义 2 \(\mathrm{Noether}\) 环
称具有命题 \(3\) 诸性质的环为 \(\mathrm{Noether}\) 环。
定理 4 (Hilbert基定理) 若 \(R\) 是 \(\mathrm{Noether}\) 环, 则 \(R[x]\) 是 \(\mathrm{Noether}\) 环.
( \(\Rightarrow R\left[x_1, \cdots, x_n\right]\) 是 \(\mathrm{Noether}\) 环)
证明 我们验证 \(R[x]\) 的理想是有限生成的. 设 \(J \triangleleft R[x]\).
记 \(J_n\) 为 \(J\) 中的 \(n\) 次多项式集合,记 \(I_n=\) \(\{J_n\) 中多项式的首项系数 \(\}\bigcup \{0\}\).
容易验证 \(I_n \triangleleft R\), 而且 \(I_n\) 随着 \(n=0,1,\cdots\) 的增大是单调递增理想. 因为 \(R\) 的 \(\mathrm{Noether}\) 性, 存在 \(N\) 使得 \(I_N=I_{N+1}=\cdots\), 而且对 \(i=0,1 ,\cdots, N\), 可以假设 \(I_i=\left(a_{i 1}, \cdots, a_{i l_i}\right)\), 于是存在 \(f_{i j}(x) \in J_n\) 使得 \(f_{i j}=a_{i j} x^i+\cdots(1\leq j\leq l_i)\).
接下来证明 \(J=J^{\prime}:=\left(\left\{f_{i j}(x)\right\}_{0 \leq i \leq N, 1 \leq j \leq l_i}\right)\). 利用归纳法. 首先 \(J_0=I_0 \subseteq J^{\prime}\).现在假设 \(J_{n-1} \subseteq J^{\prime}\). 取 \(f(x) \in J_n\),通过从 \(J^{\prime}\) 里选取多项式把 \(f(x)\) 的最高次项消去，结果落到 \(J_{n-1}\) 里,由此得到 \(f(x)\in J^{\prime}\),于是 \(J_n\in J^{\prime}\).由归纳可知，\(J=J^{\prime}\).\(\square\)
设 \(S \subset k\left[X_1, \cdots, X_n\right]\) 是任一子集, 记 \(I=(S)\) 是由 \(S\) 生成的理想. 则 \(V(S)=V(I)\).因此, 代数集都可以写成 \(V(I)\) 的形式, 其中 \(I \triangleleft k\left[x_1, \cdots, x_n\right]\) 是一个理想.由 \(\mathrm{Noether}\) 性, 可设 \(I=\left(f_1, \cdots, f_r\right)\), 则 \(V(S)=V(I)=V\left(f_1, \cdots, f_r\right)\).
命题 5 (命题 2 写作理想形式)
设 \(I, J \triangleleft k\left[x_1, \cdots, x_n\right]\).
\((1)\) \(I \subseteq J\), 则 \(V(I) \supseteq V(J)\) —— 越大的理想所决定的仿射代数集越小
\((2)\) \(V(I+J)=V(I) \cap V(J)\) —— 无限交封闭
\((3)\) \(V(I \cap J)=V(I \cdot J)=V(I) \cup V(J)\) —— 有限并封闭，不能无限并因为理想的无限乘积不是一个合法的代数对象。
证明： 自证不难。\(\square\)
命题 6 \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑特性、\(\mathrm{Noether}\) 空间
\((1)\) \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑下仿射空间的闭集(仿射代数集)的严格降链具有有限长度(\(\Leftrightarrow\) 开集的严格升链具有有限长度) .称满足这样性质的拓扑空间为 \(\mathrm{Noether}\) 空间 .
\((2)\) \(\mathrm{Noether}\) 空间的任意子空间都拟紧，特别地，仿射代数集均拟紧(拟紧：任意开覆盖均有有限子覆盖)(特别的，仿射空间在 \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑下的任意开集也都拟紧) .
\((3)\) 拓扑空间 \(X\) 是 \(\mathrm{Noether}\) 空间 \(\Leftrightarrow\) 任意子空间拟紧 .
证明：
\((1)\) 对仿射代数集降链取对应的根式理想得到根式理想升链，然后根据 \(k[x_1,\cdots,x_n]\) 的 \(\mathrm{Neother}\) 的性质即可 .
\((2)\) 反证,可以找到一个具有无限长度的开集升链，与 \((1)\) 矛盾.(这个矛盾也同时说明 \(\mathrm{Noether}\) 空间的子空间都是 \(\mathrm{Neother}\) 的) .
\((3)\) 只需证明右推左。设 \(\mathfrak{C} = \{ G_n \}_{n \in \mathbb{N}}\) 是 \(X\) 中的一列开集上升链。由于子空间 \(Y = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} G_n\) 是拟紧的，并且 \(\mathfrak{C}\) 是它的开覆盖，因此存在一个有限的子覆盖 \(\{ G_{i_n} \}_{1 \leq n \leq N}\) 使得 \(Y = \bigcup_{1 \leq n \leq N} G_{i_n}.\) 但是，如果 \(i = \max \{ i_1, i_2, \ldots, i_N \}\)，那么 \(Y = \bigcup_{1 \leq n \leq N} G_{i_n} = G_i.\) 这个 \(G_i\) 显然是 \(\mathfrak{C} = \{ G_n \}_{n \in \mathbb{N}}\) 的上界，这表明 \(X\) 是 \(\mathrm{Noether}\) 空间 .\(\square\)
实际上我们证明了 \(X\) 是 \(\mathrm{Neother}\) 空间 \(\Rightarrow\) 任意子空间拟紧 \(\Rightarrow\) 任意开子集拟紧 \(\Rightarrow\) \(X\) 是 \(\mathrm{Neother}\) 空间 .
定义 3 根式理想
设 \(I \subset R\) 是理想, 定义 \(I\) 的根式理想为
也称为根理想 (radical ideal)。称 \(I\) 为一个根理想,如果 \(I=\sqrt{I}\).
命题 7
容易验证:
\((1)\) \(\sqrt{I}\) 是理想;
\((2)\) \(\sqrt{I} \supset I\);
\((3)\) 并且 \(V(\sqrt{I})=V(I)\).
从而, 任一仿射代数集都能写成 \(V(I)\) 的形式, 其中 \(I=\sqrt{I} \triangleleft k\left[x_1, \cdots, x_n\right]\) 是根理想。\(\square\)
该命题说明，从定义零点集的角度来说，理想和根理想没有什么不同。但是在后面会看到，从零点集返回去定义零化理想时，所得到的总是根理想。在这种考量下，根理想性质更好一些。
定义 4 零化理想
对 \(X \subseteq \mathbb{A}^n\), 定义 \(I(X)=\left\{f \in k\left[x_1, \cdots, x_n\right] \mid f(X)=0\right\}\)，则 \(I(X)\) 是一个根理想(自行验证), 称作 \(X\) 的零化理想。
命题 8 理想与仿射代数集之间的对应
设 \(X\) 是 \(\mathbb{A}^n\) 中的仿射代数集 \(X=V(J)\)，\(I\) 是多项式环 \(R=k[x_1,\cdots,x_n]\) 的理想，则
\((1)\) \(I \subseteq I(V(I))\),由于 \(I(X)\) 总是根式理想，所以由此推出 \(\sqrt{I} \subseteq I(V(I))\)
\((2)\) \(X=V(I(X))\).
证明：
\((1)\) 自证不难。
\((2)\) \(X \subseteq V(I(X))\) 自证不难。对于另一个方向，先由 \((1)\) 可得，\(J\subseteq I(V(J))\),再利用命题 \(5.(1)\) 两边同时用 \(V\) 作用得，\(X\supseteq V(I(X))\).\(\square\)
推论
仿射代数集到其对应的根理想 \(X(J)=X \mapsto I(X)\) 是单射,根理想到其决定的仿射代数集 \(\sqrt{I}=I \mapsto V(I)\) 是满射。\(\mathrm{i.e.}\) 不同的仿射代数集其对应的“化零多项式”集合一定不同，任取仿射代数集，一定能找到多项式集合(根理想)使得其成为这组多项式结合的公共零点集。
不过 \(\sqrt{I} = I(V(I))\) 并不总是成立,需要加条件 \(k\) 是代数闭域才行。
反例
取 \(k\) 为实数域，则 \(I(V(x^2+y^2))=(x,y)\supsetneq (x^2+y^2)\).
定理 9 (Hilbert 零点定理)
设 \(k\) 是代数封闭域, \(R=k\left[x_1, \cdots, x_n\right]\), 则
\((1)\) \(R\) 的极大理想形如 \(\left(x_1-a_1, \cdots, x_n-a_n\right)\) .
\((2)\) 如果理想 \(I \neq R\), 则 \(I\) 中的多项式有公共零点 .
\((3)\) \(V(I)=\varnothing \Leftrightarrow I=R\)
证明：
\((1)\) 查阅教科书 .
\((2)\) (含幺交换)环的任何真理想都可以找到包含自身的极大理想,再运用 \((1)\) 即可 .
\((3)\) 右推左是我们早已知道的。作为 \((2)\) 的推论，现在我们知道左推右也是对的。
也就是说，任取 \(R\) 中有限多个多项式 \(\{\mathcal{S}\}\)，它们要么有公共零点即 \(V(\mathcal{S})\not ={\varnothing}\),要么 \((\{\mathcal{S}\})=R\).
推论 代数闭域上的仿射代数集与根式理想一一对应
设 \(k\) 是代数封闭域，则 \(\sqrt{I} = I(V(I))\), 从而 \(\mathbb{A}^n\) 中的仿射代数集和环 \(R=k\left[x_1, \cdots, x_n\right]\) 的根理想——对应。
证明：
只需证明 \(I(X)=I(V(I)) \subseteq \sqrt{I}\).
取 \(f \in I(X)\).考虑 \(\mathbb{A}^{n+1}\), 坐标设为 \(x_1, \cdots, x_n, y\),对应的多项式环为 \(k[x_1,\cdots,x_n,y]=k[x,y]\). 令 \(J=(I, 1-y f)\).由命题 \(7.(2),V(J)\subseteq V(I)=X\),但 \(X\) 中的每一个点都不是 \(1-yf\) 的零点。于是 \(V(J)=\varnothing\),由定理 \(8.(3)\) 知 \(J=(1)=(k[x,y])\) .
易验证 \(I[y] \triangleleft R[y]\). 且易知(作一个从 \(R[y]\) 到 \((R/I)[y]\) 的自然环同态然后算核即可) \(R[y] / I[y] \cong(R / I)[y]\) .
由 \(J=(1)\) 知存在 \(u(x, y) \in k[x, y]\) 使得 \(u(x, y)(1-y f(x)) \equiv 1(\bmod I[y])\).(注意到,\(\forall v(x,y)\in k[x,y],vI\in I[y]\)) 设 \(u(x, y)=a_0(x)+\cdots+a_m(x)y^m\). 则
在环 \((R/I)[y]\) 中看待上式，于是得到
这意味着 \(f^{m+1}\equiv 0\pmod{I}\Rightarrow f^{m+1}\in I\) .\(\square\)
\(\left\{ \mathbb{A}^n的闭子集 \right\} \rightleftharpoons \left\{ k[X] 的根式理想\right\}.\)
命题 10 仿射代数集上的 \(\mathrm{Zariski}\) 子拓扑
定义子拓扑上的闭集为 \(V(I(X),f):=V_X(f)\)(当然，也可以像命题 \(5\) 那样用理想来写)，则按这种定义 \(X\) 成为拓扑空间 .
\((1)\) \(V_X(f) \bigcup V_X(g)=V_X(fg)\) —— 有限并封闭 .
\((2)\) \(V_X(f) \bigcap V_X(g)=V_X(f,g)\) —— 无限交封闭 .
\((3)\) \(V_X(0)=X,V_X(R)=\varnothing\) —— 空集、全集也在其中。
证明： 自证不难。熟悉子空间拓扑则不证自明。\(\square\)
例
若 \(f\notin I(X)\)，则 \(V_X(f)=V(f)\cap X\subsetneq X\) .
定义 5 不可约仿射代数集
仿射代数集 \(X\) 如果满足如下条件: 若 \(X=X_1 \cup X_2\), 且 \(X_1\) 和 \(X_2\) 都是仿射代数集 (\(\mathrm{Zariski}\) 拓扑下的闭集), 则必有 \(X=X_1\) 或者 \(X=X_2\), 则称 \(X\) 是不可约的(irreducible),也称为仿射代数簇.
这个定义看起来与连通子集的定义类似，实际上容易证明不可约子集确实是连通的，但反过来不对。例如， \(V(x y)=V(x) \cup V(y) \subset \mathbb{A}^2\) 是连通的，但不是不可约的。
命题 11 不可约仿射代数集的拓扑性质
\((1)\) 不可约仿射代数集 \(X\) 的每个非空开集 \(U\) (在 \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑在 \(X\) 上诱导的子拓扑意义下)稠密，即 \(\overline{U}=X\).
\((2)\) 不可约仿射代数集 \(X\) 的任意两个非空开集相交 .
证明：
\((1)\) \(\overline{U}\cup (X\backslash U)=X\Rightarrow \overline{U}=X\) .
\((2)\) \(U_1\cap U_2=\varnothing \Leftrightarrow (X\backslash U_1) \cup (X\backslash U_2)=X\)，不妨设 \(X=X\backslash U_1\Rightarrow U_1=\varnothing\)，矛盾.也可以直接利用命题 \(0.4\) 来证明这一点 .\(\square\)
定理 12 仿射代数集 \(X\) 不可约当且仅当 \(I(X)\) 是素理想.
证明：
"\(\Rightarrow\)": 否则存在 \(f, g \in(R \backslash I(X))\) (这意味着 \(f,g\) 的零点集真含于 \(X\)),\(f g \in I(X)\). 令 \(Y=V_X(f), Z=V_X(g)\). 可直接验证 \(Y, Z\) 是 \(X\) 的真闭子集, 而且 \(X=Z \cup Y\).
"\(\Leftarrow\)"：设 \(X=X_1\cup X_2\),则 \(I(X)=I(X_1)\cap I(X_2)\),进而 \(I(X_1)I(X_2)\subseteq I(X)\),由 \(I(X)\) 的素性不妨设 \(I(X_1)=I(X)\),则由命题 \(7.(2)\) 可知 \(X_1=X\). \(\square\)
定理 13 仿射代数集唯一分解定理
仿射代数集 \(X\) 可以唯一分解为 \(X=X_1 \cup X_2 \cup \cdots \cup X_m\), 其中每个 \(X_i\) 不可约,而且互不包含. 我们称 \(X_i\) 为 \(X\) 的不可约分支.
证明：
存在性: 如果 \(X\) 不可约, 则结论成立. 否则 \(X=X_1 \cup X_2\),且满足 \(X_1\) 和 \(X_2\) 都是 \(X\) 的真闭子集(显然不能互相包含,进而 \(X_1\) 的真闭子集也不会包含 \(X_2\)), 以此类推一直分解下去直到全是不可约分支时停止,且分解过程中若出现有包含关系的集合就把更小的那个集合从分解式中删去，由 \((1)\) 知这种分解过程是不能无限进行下去的. 唯一性：假设有两种分解方式 \(X=X_1 \cup X_2 \cup \cdots \cup X_m=Y_1\cup \cdots \cup Y_n\),则 \(X_1=X\cap X_1=(Y_1\cap X_1)\cup \cdots \cup (Y_n\cap X_1)\Rightarrow X_1=Y_i\cap X_1\Rightarrow X_1\subseteq Y_i\)，则对称的，经过类似的操作我们可以得到 \(Y_i\subseteq X_j\),则只能是 \(j=1\) 且 \(X_1=Y_j\),对所有的 \(X_k\) 如此做便可得知分解的唯一性 .\(\square\)
例 1 把超曲面 \(V\left(F=x^2 \cdot\left(y^2(x-1)+x^3\right)\right)\) 分解为不可约分支并集
关键在于判定 \(y^2(x-1)+x^3\) 在 \(k[x,y]\) 中是否是不可约多项式，这绝对不是一个简单的问题。
例 2 把 \(V\left(x^2, y^2(x-1)+x^3\right)\) 分解为不可约分支并集
定义 6 多项式函数环
设 \(X\) 是仿射代数集,全体从 \(X\) 映射到 \(k\) 的函数自然形成环，称为 \(X\) 上的函数环，记作 \(Func(X\mapsto k)\),从多项式环 \(k[x_1,\cdots,x_n]\) 出发有自然环同态 \(k[x_1, \cdots, x_n] \longrightarrow F u n c(X \mapsto k)\),像集记作 \(\mathrm{Poly}[X]:=\mathrm{Im}(k\left[x_1, \cdots, x_n\right] \rightarrow \operatorname{Func}(X \rightarrow k))\), 称作 \(X\) 上的多项式函数环，其中元素称为多项式函数.于是
命题 14
\((1)\) \(X\) 上的点和 \(\operatorname{Poly}[X]\) 的极大理想一一对应 .
\((2)\) \(X\) 的每个闭集形如 \(V_X\left(f_1, \cdots, f_m\right)\), 其中 \(f_i \in \operatorname{Poly}[X]\) .
\((3)\) \(f \in \operatorname{Poly}[X]\), 则 \(f: X \rightarrow \mathbb{A}^1\) 是连续映射 .
\((4)\) \(X\) 是仿射代数簇当且仅当 \(\operatorname{Poly}[X]\) 是整环 .
\((5)\) 设 \(X\) 是仿射代数簇，如果两个多项式函数 \(\overline{f_1}, \overline{f_2}\) 在一个非空开集 \(U \subseteq X\) 上取值一致, 那么 \(\overline{f_1}=\overline{f_2}\).
证明：
\((1)\) 由希尔伯特零点定理，\(\mathrm{Poly}[X]\) 的极大理想的形式为 \((x-a_1,\cdots,x-a_n)/I(X)\)，其中 \((x-a_1,\cdots,x-a_n)\supseteq I(X)\),两边用 \(V\) 作用即得 \((a_1,\cdots,a_n)\in X\) .
\((2)\) 有限是由于 \(\mathrm{Noether}\) 性 .又因为 \(V(I(X),J)=V(I(X),J-I(X))\) ，所以可取 \(f_i \in \mathrm{Poly}[X]\) .\(\square\)
\((3)\) 只需证闭集的原像是闭集，在 \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑的意义下，\(\mathbb{A}^1\) 中的闭集有空集，全集和有限点集(因为多项式的零点集总是有限集合)。空集的原像是空集，单点 \(\alpha \in \mathbb{A}^1\) 的原像为 \(f^{-1}(\alpha)=\{(x_1,\cdots,x_n)\in X |f(x_1,\cdots,x_n)-\alpha=0\}\),令 \(g=f(x_1,\cdots,x_n)-\alpha\),则 \(f^{-1}(\alpha)=V_X(g)\) 是 \(X\) 中的闭集,所以有限点集的原像都会是闭集。全集的原像是闭集 \(V_X(0)\) .
\((4)\) 显然 .
\((5)\) 如果 \(r:=f_1-f_2\) ，问题就转化为证明 \(\overline{r}|_U=0\Rightarrow \overline{r}=0\) ，这意味着 \(U \subseteq V_X(r)\),由 \(U\) 的稠密性知 \(X\) 是包含 \(U\) 的唯一闭集，这就意味着 \(V_X(0)=X=V_X(r)\Rightarrow r\in I(X) ~ \mathrm{i.e.}~\overline{r}=0\) .\(\square\)
在处理命题 \(14.(5)\) 的时候，我们可能想使用命题 \(0.7\)，但这是痴心妄想，因为 \(\mathrm{Zariski}\) 拓扑一般不是豪斯多夫拓扑。举个例子，考虑最简单的仿射空间 \(\mathbb{A}^1\)，任意 $ f \in k[X] $ 都只有有限个零点，因此其中闭集只有全集和有限点集。若 \(\mathbb{A}^1\) 是 \(\mathrm{Hausdorff}\) 的，取 $ x, y \in \mathbb{A}^1 $，则存在开集 $ U_x, U_y $ 分别是 $ x $ 和 $ y $ 的不相交的邻域，这推出存在两个真子闭集，它们的并覆盖 $ A^1 $，这与 $ A^1 $ 是无限集的事实相矛盾.于是 \(\mathbb{A}^1\) 不是 \(\mathrm{Hausdorff}\) 的 .
我们应该将 $ \mathrm{Poly}[Y] $ 看作是仿射代数簇 $ Y $ 的一个不变量。事实上， $ \mathrm{Poly}[Y] $ 不仅仅是 \(Y\) 的一个不变量。它实际上决定了 \(Y\)。这是数学中的一个常见现象：某个范畴中的空间（例如拓扑、微分、全纯、解析、代数等）实际上是由定义在其上的可接受函数（例如连续的、可微的、全纯的、解析的、正则的）所决定的。 \(Y\) 决定了 \(\mathrm{Poly}[Y]\) 同时也可以被 \(\mathrm{Poly}[Y]\) 重构出来(\(Y\) 中的点与其中极大理想一一对应) .
定义 7
设 \(X\) 是仿射代数簇, 记 \(K(X)=\operatorname{Frac}(\operatorname{Poly}[X])\),其中元素称作 \(X\) 上的有理函数(需要注意的是由于定义域可能 \(\subsetneq X\)，可能并不是真正意义上的函数).设 \(\varphi \in K(X), x \in X\),如果存在 \(\overline{f},\overline{g} \in \operatorname{Poly}[X]\) 使得 \(\varphi=\overline{f} /\overline{g}\) 以及 \(\overline{g}(x) \neq 0\), 则称 \(\varphi\) 在 \(x\) 处有定义, 所有有定义的点构成的集合 \(\operatorname{Dom}(\varphi)\) 称作有理函数 \(\varphi\) 的定义域 .
例 有理函数
设 \(X=V(x y-z w) \subset \mathbb{A}^4\), 有理函数 \(\varphi=\overline{x} / \overline{z}=\overline{w} / \overline{y}\), 在 \(\{\alpha \in X|\overline{z}(\alpha)\neq 0,\overline{y}(\alpha)\neq 0\}\) 是有定义的;设 \(X=V\left(y^2-x^3\right) \subset \mathbb{A}^2\), 有理函数 \(\varphi=(\overline{y} / \overline{x})^2=\overline{x}\) 处处有定义.
记号声明：\(k[X]=R=k[x_1,\cdots,x_n]\) 表示多项式环,\(f,g\) 表示多项式，\(\mathrm{Poly}[X]\) 表示多项式函数环，\(\overline{f},\overline{g}\) 表示多项式函数环中的等价类，\(K(X)\) 表示多项式函数环(假定 \(X\) 不可约)的分式域 .
命题 15
设 \(X\) 是一个仿射代数簇,则
\((1)\) 一个有理函数的定义域是 \(X\) 的开集 .
\((2)\) 如果两个有理函数 \(\varphi_1, \varphi_2\) 作为映射在一个非空开集在 \(U \subseteq X\) 上取值一致,那么在 \(K(X)\) 中 \(\varphi_1=\varphi_2\).
证明：
\((1)\) 设 $ h \in K(X) $ 是 $ X $ 上的有理函数。那么 $ h $ 的定义域是所有开子集 $ D(\overline{g}) = X \setminus V_X(\overline{g}) =X\setminus V_X(g) =D(g)$ 的并(注意到，\(V_X(\overline{g})=V_X(g)\) )，其中 $ g $ 遍历所有有理函数表示 $ h = \frac{\overline{f}}{\overline{g}} $ 中的分母 .
\((2)\) 如果 $ r := \varphi_1 - \varphi_2 $，那么需要证明的是，如果 $ r|_U = 0 $，则 $ r = 0 $。设 $ r = \frac{\overline{f}}{\overline{g}} $。则 $ r|_U = 0 $ 意味着 $ \overline{f}|_U = 0 $，这意味着 $ U \subset V_X(\overline{f})=V_X(f) $。由非空开集的稠密性这就意味着 $ V_X(0) = X = \bar{U} \subseteq V_X(f) \Rightarrow f\in I(X)$,这说明 $ \overline{f} = 0\Rightarrow r=0 $ .\(\square\)
由于我们在一个拓扑 \(\mathrm{Neother}\) 空间中工作，任何开集的并集都可以用其中有限个开集的并表示。这意味着 $ h $ 的定义域实际上是前述定义中有限个 $ D(g_i) $ 的并集。
定理 16
设 $ X $ 是一个仿射代数簇。如果 $ h \in K(X) $ 的定义域是整个 $ X $，即 $ h $ 在 $ X $ 上处处定义，则 $ h $ 实际上是一个多项式函数，即 $ h \in \mathrm{Poly}[X] $ .
反命题显然成立 .
证明： $ h $ 的定义域是所有满足 $ h = \frac{\overline{f}}{\overline{g}} $ 的开集 $ D(g)=X \backslash V_X(g) $ 的并集，并且可以由有限个开集 \(D(g_i),i=1,\cdots,n\) 的并实现，相应的 \(h=\frac{\overline{f_i}}{\overline{g_i}}\)(\(h\) 也许还存在其他的表达，这无所谓，我们只用到 \(g_i,i=1,\cdots,n\) 对应的表达),其中 $ f, g \in k[X] $，且 $ g \neq 0 $。这个并集的补集是所有 $ V_X(g_i) $ 的交集，记作 $ V_X(\mathfrak{a}) $，其中 $ \mathfrak{a} $ 是由所有的 $ g_i $ 生成的理想。由于 $ h $ 的定义域是 $ X $，这个补集 \(V_X(\mathfrak{a})=\varnothing \Rightarrow \mathfrak{a}=(1)\Rightarrow\) 存在有限多个 $ r_i \in k[X] $，使得 $ \sum_i r_i g_i = 1 $.将这个 \(k[X]\) 上的等式放到(自然同态) \(\mathrm{Poly}[X]\) 中然后乘以 $ h $，我们得到 $ h = \sum_i \overline{r_i} \overline{f_i} $.在这个表达式中不再有分数项，因此 $ h $ 是多项式函数 .\(\square\)
给定有限多个有理函数 $ h_i \in K(X) $，存在一个非空开子集 $ U \subset X $，使得所有的 $ h_i $ 都在 $ U $ 上有定义。(每个 $ h_i $ 的定义域都是开集且非空的。只需要证明有限个非空开集的交集始终是非空的开集。这是命题 \(11.(2)\) 保证的 .)
定理 \(16\) 已经回答了我们的问题,但还有一套更复杂炫酷的技术路线(用到一些交换代数)可以达到相同的目的 .由于我们关心的是处处有定义的有理函数，我们将直接研究由这种性质所定义的函数。
定义 8
设 \(X\) 是仿射代数簇, 设 \(U \subseteq X\) 是一个非空开集, 一个函数 \(f: U \rightarrow k\) 被称作 \(U\) 上的正则函数, 如果对任意 \(x \in U\), 存在 \(x\) 的开邻域 \(V_x\) 以及有理函数 \(\varphi_x\) 使得 \(\left.f\right|_{V_x}=\left.\varphi_x\right|_{V_x}\),即每个局部都可被良定的有理函数实现的函数, \(U\) 上的正则函数集合记作 \(\operatorname{Reg}[U]\) .
\(\mathcal{O}_{X, x}:=\)在 \(x\) 点某个邻域有定义的有理函数的集合 \(=\{\varphi \in K(X)|\varphi 在 x 良定义\}\) ,称作在 \(x\) 处正则函数茎(stalk) .显然有 \(\operatorname{Reg}[U]=\bigcap_{x \in U} \mathcal{O}_{X, x}\) .
\(X\) 的任意两个非空开集相交并且 \(K(X)\) 中的函数由在一个开集上的取值确定，所以 \(f \in \operatorname{Reg}[U]\) 可以唯一地被 \(K(X)\) 中的元素表达，从而 \(\operatorname{Reg}[U]=\{\varphi \in\) \(K(X) \mid U \subseteq \operatorname{Dom}(\varphi)\}\). 可将 \(\operatorname{Reg}[U]\) 视为 \(K(X)\) 的子环.
命题 17
\((1)\) 记 \(m_{X, x}\) 为 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 中在 \(x\) 取零点的函数集合. 则 \(m_{X, x}\triangleleft \mathcal{O}_{X, x}\) 且 \(\left(\mathcal{O}_{X, x}, m_{X, x}\right)\) 是一个局部环, 自然映射 \(k \leftarrow \mathcal{O}_{X, x} / m_{X, x}\) 是同构.
\((2)\) 记 \(m_x\) 是 \(\operatorname{Poly}[X]\) 中在点 \(x\in X\) 的多项式函数集,由命题 \(14.(1)\) 这是 \(\mathrm{Poly}[X]\) 中的一个极大理想,则 \(\mathcal{O}_{X, x}=\operatorname{Poly}[X]_{m_x}=\{\frac{f}{s}|f,s\in \mathrm{Poly}[X],s\notin m_x ~\mathrm{i.e.}~s(x)\neq 0 \}\) .
\((3)\) \(\operatorname{Reg}[X]=\operatorname{Poly}[X]\), 以后记作 \(\Gamma[X]\).
证明： \((1)(2)\) 都是显然的.
\((3)\) 利用交换代数的结论: 设 \(R\) 是整环, 对 \(P \in \operatorname{Spec}(R)\), 有自然的嵌入 \(R \subseteq R_P \subseteq K(R)\). 我们有
证明:任取 \(\alpha \in \bigcap_{m \in \operatorname{Max}(R)} R_m\), 则对于每个 \(m \in \operatorname{Max}(R)\), 存在 \(r_m, s_m \notin m\) 使得 \(\alpha=r_m / s_m\),即 \(s_m \alpha \in R\). 由 \(\left(\left\{s_m|m\in \mathrm{Max}(R)\right\}\right)=R\)(这一点反证考虑左边生成的理想会包含在一个极大理想里易得矛盾), 故存在 \(u_1, \cdots, u_r \in R\) 使得 \(u_1 s_{m_1}+\cdots+u_r s_{m_r}=1\)，从而 \(\alpha=\sum_i u_i \cdot\left(s_{m_i} \alpha\right) \in R\) .
于是 \(\mathrm{Reg}[X]=\bigcap_{x \in X} \mathcal{O}_{X, x},\mathrm{Poly}[X]=\bigcap_{m_x\in \mathrm{Max}(\mathrm{Poly}[X])}\mathrm{Poly}_{m_x}=\bigcap_{x\in X}\mathrm{Poly}[X]_{m_x}\),由 \((2)\) 即知 \(\operatorname{Reg}[X]=\operatorname{Poly}[X]\) .\(\square\)
注意到我们使用的交换代数结论本质上和定理 \(16\) 的证明过程没什么两样,所以也可以认为定义 \(8\) 和命题 \(17\) 什么都没干。但是看起来更加炫酷(代数化)，不是吗？
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