格初步（三）

最短向量问题SVP和近似SVP

\(Minkowski\) 的第一个定理意味着秩 \(n\) 的任何格 \(\Lambda\) 在长度 \(\leq \sqrt{n}(\operatorname{det} \Lambda)^{\frac{1}{n}}\) 中至少包含一个的非零向量.然而，他的证明是非构造性的.事实上，还没有一个有效算法可以找到这样的短向量 .

让我们定义最基本的涉及格的计算难题：最短向量问题，简称 SVP.我们给出了一个格，需要我们找到最短的非零格点.更准确地说，SVP有三个变体，这取决于我们的要求：确切找出最短的格点向量，或者只要求找到它的长度，又或者仅仅判断它是否比某些给定的数字小:
—Search SVP : 给定格基 \(B \in \mathbb{Z}^{m \times n}\) 求 \(v \in \mathcal{L}(B)\) ，使 \(\|v\|=\lambda_1(\mathcal{L}(B))\).
—Optimization SVP : 给定格基 \(B \in \mathbb{Z}^{m \times n}\) ，找到 \(\lambda_1(\mathcal{L}(B))\).
—Decisional SVP :给定格基 \(B \in \mathbb{Z}^{m \times n}\) 和有理数 \(r \in \mathbb{Q}\) ，判断 \(\lambda_1(\mathcal{L}(B)) \leq r\) 是否成立 .

注意，我们限制格基由整数向量组成，而不是任意的实向量。这样做的目的是使输入以有限的多位表示，这样我们就可以将 SVP 视为一个标准的计算难题.我们还可以允许格基由有理向量组成.这将导致一个本质上等价的定义，因为通过缩放，可以使所有有理数坐标都是整数 .

上述三个变体之间的两个简单关系是，决策变体不比优化变体更难，优化变体不比搜索变体更难.事实上，可以证明逆向也是正确的：优化变体不比决策变体更难，搜索变体不比优化变体更难。总之，（可能令人惊讶）这三个变体的难度是一样的 .

虽然我们甚至还没有阐明“难度”这个词的含义 .

因为如果我们拥有一个决策变体的预言机，我们可以通过二分查找来解决优化变体，方法是通过改变选择的 \(r\) 值来进行搜索。这里唯一的细微之处是，为了使得搜索能够在多项式时间内成功，也就是要求 \(\log_2(\sqrt{n}~det(\Lambda)^{1/n})\leq poly(n,|B|)\)（\(|B|\) 表示输入基 \(B\) 的比特长度），也就是说要求 \(\sqrt{n}~det(\Lambda)^{1/n}\leq 2^{poly(n,|B|)}\).在后续讨论中，我们默认该不等式成立（这个不等式是容易满足的，所以并没有对我们的讨论增加太多额外的限制）.

给定近似因子 \(\gamma=\gamma(n) \geq 1\)，我们可以定义近似 \(\mathrm{SVP}_\gamma\) 问题：
—\(\mathrm{GapSVP}_\gamma\)（决策）: 给定 \(d\in \mathbb{Q}\)，区分 \(\lambda_1 \leq d\) 与 \(\lambda_1>\gamma \cdot d\) .

如果(\lambda_1(\mathcal{L}(\mathbf{B})))落在(d)和(\gamma \cdot d)之间，两种答案均可接受。或者，该问题可视为一个“承诺问题”（promise problem），即输入(\mathbf{B})保证满足两种情形之一 .

—\(\mathrm{EstSVP_\gamma}\)（估计）：输出 \(d \in\left[\lambda_1, \gamma \cdot \lambda_1\right]\).
—\(\mathrm{SVP_\gamma}\)（搜索）：找到 \(\|\mathbf{v}\| \leq \gamma \cdot \lambda_1\) 的非零向量 .

需要注意，当取(\gamma=1)时对应问题的精确版本（如上述定义），且随着(\gamma)增大，问题难度不会增加。形式化表述为：对于任意(\gamma^{{\prime}\geq\gamma)，有(\mathrm{GapSVP}_{\gamma}{\prime}} \leq \mathrm{GapSVP}_{\gamma})（注意归约的方向性），同理适用于 (\mathrm{EstSVP}) 和 (\mathrm{SVP}) .

易证 \(\mathrm{GapSVP}_\gamma \leq \mathrm{EstSVP}_\gamma \leq \mathrm{SVP}_\gamma\) ，且同样使用二分查找可以证明估计型与决策型多项式等价。但对于＂有意义＂的 \(\gamma>1\) ，决策与搜索的等价性仍为开放问题 .