格初步（一）

基本概念

定义1 (LATTICE)

给定 \(n\) 个线性无关向量 \(b_1, b_2, \ldots, b_n \in \mathbb{R}^m(n \leq m)\) ，由它们产生的格被定义为，

\[\mathcal{L}\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right)=\left\{\Sigma x_i b_i \mid x_i \in \mathbb{Z}\right\} \]

我们把 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) 作为格的基。等价地，如果我们定义 \(B\) 为 \(m \times n\) 矩阵，其列是 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) ，那么 \(B\) 产生的格是，

\[\mathcal{L}(B)=\mathcal{L}\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right)=\left\{B x \mid x \in \mathbb{Z}^n\right\} \]

我们说格的秩为 \(n\) ，其维数（长度）为 \(m\) ，如果 \(n=m\) ，则称格为满格。一般考虑满格 .

定义2 (SPAN)

格 \(\mathcal{L}(B)\) 中基向量的所有线性组合(linear combinations)所形成的集合，就叫做这组基向量所张成的空间(SPAN)，

\[\operatorname{span}(\mathcal{L}(B))=\operatorname{span}(B)=\left\{B y \mid y \in \mathbb{R}^n\right\} \]

定义3 (FUNDAMENTAL PARALLELEPIPED，基础区域)

对于任意格基 \(B\) ，我们定义

\[\mathcal{P}(B)=\left\{B x \mid x \in \mathbb{R}^n, \forall i: 0 \leqslant x_i<1\right\} \]

PARALLELEPIPED 直译是平行六面体的意思 .

如何判断给定的满秩向量集是否构成格的"basis"?
回答：基本区域不包含除了原点外的任何格点 .

引理 4 (basis的判定)

设 \(\Lambda\) 为秩 \(n\) 的格，设 \(b_1, b_2, \ldots, b_n \in \Lambda\) 为 \(n\) 个线性无关的格向量。 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)表示为 \(\Lambda\) 的"basis"，当且仅当 $ \mathcal{P}\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right) \cap \Lambda=0$ .

证明: 首先假设 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) 表示 \(\Lambda\) 的"basis"。根据定义，
—\(\Lambda\) 是其所有整数线性组合的集合，
—\(\mathcal{P}\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right)\) 被定义为 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) 线性组合的集合，其系数在 \([0,1)\) 中 .
这两个集合的交集是 \(\{0\}\) .
反向，假设 \(\mathcal{P}\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right) \cap \Lambda=0\) ，因为 \(\Lambda\) 为秩 \(n\) 的格， \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) 是线性无关的，因此我们可以将任何格向量 \(x \in \Lambda\) 写成 $\Sigma y_i b_i,y_i \in \mathbb{R} $.根据定义，格在加法下是封闭的，所以向量 \(x^{\prime}=\Sigma\left(y_i-\left\lfloor y_i\right\rfloor\right) b_i\) 也在 \(\Lambda\) 中.根据我们的假设，\(x^{\prime}=0\).这意味着，所有的 \(y_i\) 都是整数，因此 \(x\) 是 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) 的整数组合 .\(\square\)

如何确定两个给定 "basis" $B_1, B_2$ 是否等价? 即他们生成相同的格 $\left(\mathcal{L}\left(B_1\right)=\mathcal{L}\left(B_2\right)\right)$ 。为此，我们需要引入以下定义 .

定义 5 (unimodular matrix, 幺模矩阵)

假设矩阵为 \(U \in \mathbb{Z}^{n \times n} ，|U|= \pm 1\) ，则称 \(U\) 为幺模矩阵(unimodular matrix).例如，矩阵:

\[\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \]

便为幺模矩阵。引理 \(6\) 表明，幺模矩阵的逆也是幺模矩阵 (因此，在矩阵乘法下，幺模矩阵集合形成一个群) .

引理 6 (幺模矩阵的可逆性)

如果 \(U\) 是幺模矩阵，那么 \(U^{-1}\) 也是幺模矩阵，特别地， \(U^{-1} \in \mathbb{Z}^{n \times n}\) .

引理 7 (basis等价判定)

两个"basis" \(B_1, B_2 \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是等价的，当且仅当 \(B_2=B_1 U\) ，其中 \(U\) 表示某个幺模矩阵 .

证明: 首先假设 \(\mathcal{L}\left(B_1\right)=\mathcal{L}\left(B_2\right)\).对于 \(B_2\) 的 \(n\) 列 \(b_i,b_i \in \mathcal{L}\left(B_1\right)\) 。这意味着存在一个整数矩阵 \(U \in Z^{n \times n}\) ，其中 \(B_2=B_1 U\) 。同样，存在 \(V \in Z^{n \times n}\) ，使 \(B_1=B_2 V\) 。因此 \(\mathrm{B}_2=\mathrm{B}_1 \mathrm{U}=\mathrm{B}_2 \mathrm{VU}\) ，我们得到

\[B_2^T B_2=(V U)^T B_2^T B_2(V U) \]

取行列式，我们得到 \(\operatorname{det}\left(B_2^T B_2\right)=(\operatorname{det}(V U))^2 \operatorname{det}\left(B_2^T B_2\right)\) ，从而得到 \(\operatorname{det}(V) \operatorname{det}(U)= \pm 1\) 。由于 \(V, U\) 都是整数矩阵，这意味着 \(\operatorname{det}(U)= \pm 1\) .

反向，假设 \(B_2=B_1 U , U\) 表示某一幺模矩阵.因此， \(B_2\) 的每一列都包含在 \(\mathcal{L}\left(B_1\right)\) 中，我们得到了 \(L\left(B_2\right) \subseteq L\left(B_1\right)\) .此外， \(B_1=B_2 U^{-1}\) ，由于 \(U^{-1}\) 是 unimodular（引理 \(6\)），我们同样得到 \(L\left(B_1\right) \subseteq L\left(B_2\right)\).我们得出结论， \(\mathcal{L}\left(B_1\right)=\mathcal{L}\left(B_2\right)\) .\(\square\)

作为一个直接的推论，我们得到 \(B\) 是 \(\mathbb{Z}^n\) 的"basis"，当且仅当它是 unimodular .

引理 8 (右乘幺模方阵的等价描述)

两个"basis"是等价的，当且仅当其中的一个格基矩阵可以通过列上的以下操作从另一个"basis"中获得:
\(1.b_i \leftarrow b_i+k b_j\) ，其中 \(k \in \mathbb{Z}\) ，
\(2.b_i \leftrightarrow b_j\),
\(3.b_i \leftarrow-b_i\).

本质是因为幺模矩阵的Smith标准型可以通过初等变换打洞过程得到。

我们需要的最后一个基本概念如下:

定义 9 (DETERMINANT， 行列式)

设 \(\Lambda=\mathcal{L}(B)\) 为秩 \(n\) 的格。我们定义 \(\Lambda\) 的行列式为 \(\operatorname{det}(\Lambda):=\) \(\mathcal{P}(B)\) 的 \(n\) 维 "体积".同样可以写成 \(\operatorname{det}(\Lambda):=\sqrt{\operatorname{det}\left(B^T B\right)}\) .在 \(\Lambda\) 是满格的特殊情况下，\(B\) 是方阵，我们有 \(\operatorname{det}(\Lambda)=|\operatorname{det}(B)|\) .

格的行列式是很好的定义，从这个意义上说，它独立于我们对"basis" \(B\) 的选择.事实上，如果 \(B_1\) 和 \(B_2\) 是 \(\Lambda\) 的两个基，那么由引理 \(7\)， \(B_2=B_1 U\).因此，

\[\sqrt{\operatorname{det}\left(B_2^T B_2\right)}=\sqrt{\operatorname{det}\left(U^T B_1^T B_1 U\right)}=\sqrt{\operatorname{det}\left(B_1^T B_1\right)} \]

我们常常还会使用“密度”这个术语，格的行列式与其密度成反比：行列式越小，格的密度越大.更精确地说，如果取一个大球 \(K\) （在 \(\Lambda\) 所处空间内），那么当 \(K\) 的大小趋于无穷大时， \(K\) 内的格点数接近 \(\operatorname{vol}(K) / \operatorname{det}(\Lambda)\) .

Gram-Schmidt Orthogonalization，GSO，施密特正交化。

GSO是线性代数中的一个基本运算过程，它接受任意一组 \(n\) 个线性无关向量 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) ，并以此向量组创建新的一组 \(n\) 个正交向量 \(\tilde{b}_1, \tilde{b}_2, \ldots, \tilde{b}_n\) .

定义 10

对于 \(n\) 个线性无关向量 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\) 序列，它们的 GSO 为向量序列 \(\tilde{b}_1, \tilde{b}_2, \ldots, \tilde{b}_n\) ,

\[\tilde{b}_i=b_i-\Sigma_{j=1}^{i-1} \mu_{i, j} \tilde{b}_j, \text { where } \mu_{i, j}=\frac{\left\langle b_i, \tilde{b}_j\right\rangle}{\left\langle\tilde{b}_j, \tilde{b}_j\right\rangle}=\frac{|b_i|cos \langle b_i,\tilde{b_j}\rangle}{|\tilde{b_j}|} \]

简言之， \(\tilde{b}_i\) 是 \(b_i\) 与 \(\tilde{b}_1, \tilde{b}_2, \ldots, \tilde{b}_{i-1}\) 正交的分量部分 .