吹课四

Todo

1. 树状数组二维偏序。

博弈论

1. 按照博弈状态建图跑拓扑排序判断先后手赢。

组合计数

0. 就两种：dp 或 硬推。

1. 等比数列。\(\sum^n_{i=1} p^i=\dfrac{p^{n+1} - p}{p - 1}\)

2. 观察到一个数列有关于 1 3 3 1，1 4 6 4 1，就应该想到 binomial 了。

3. 组合计数不一定为 dp，优化不了考虑一个式子算答案。

4. 相邻两数操作后变成一个数，操作后整个序列长度减一的操作：大多和杨辉三角有关，因为贡献系数是杨辉三角。

5. 正难则反，难解就反过来容斥。

树

1. 将树分成大小为 \([B,3B]\) 的若干连通块，直接分。多余的点抛给父亲。e.g. prob。

并查集

1. 当经过一些对边的贪心处理（e.g. 边权从小到大排序）后，如果要维护的信息可以再两颗树合并时维护，考虑并查集。

树的直径

树的重心

LCA

1. 差分。

哈希

1. 需要 \(O(1)\) 判 \(O(n)\) 的东西，大概率是哈希。

2. 集合判相等，考虑集合哈希（赋随机权然后异或）(权值 \(\le n\) 着重考虑，如果否也可以离散化。e.g. prob。

DS

莫队

1. 要求不强制在线，相邻区间递推复杂度较小。

线段树

1. 必须满足信息可合并。

2. 一些区间满足（一个点 / 一条线要求在区间中），考虑通过画图，转换为扫描线。e.g. prob。

分块

1. 莫队，线段树等都不可行，使用分块。

DP

1. 先写爆搜，再优化到 DP。

2. 背包的状态描述一般为前 \(i\) 个元素，序列 DP 的状态描述一般为第 \(i\) 个元素，或，第 \(i\) 个元素结尾。

3. 期望 DP：（优先考虑级从前往后）结尾状态确定：逆推（已经...（如何）到结尾状态还需要的期望，f[结尾状态]=0），开头状态：顺推（已经...后的期望，f[开头状态]=0），每种情况概率确定：状压。

4. 排列 DP 的一种题型：求满足条件的排列个数，状态往往可以设计为：枚举当前填第 \(i\) 个数 的排名为 \(j\) 的 排列方案数。e.g. prob。

5. 前缀和优化。

6. 有关上升子序列的个数的 DP ：\(f_{i,j}\) 为上升子序列长度为 \(i\)，末尾下标为 \(j\) 的 LIS 个数。e.g. prob。

7. yao qiu he wei yi ge shu de bei shu: f[i][j = 0 ~ m - 1] -> di yi ge yuan su, yu shu wei j.

贪心

1. 爆搜优化成 DP 仍然不可行，考虑贪心。

暴力

1. Subtasks 多劳多得。

2. 爆搜 + 剪枝。

3. \(n!\) 的暴力往往可以变成 \(2^n\) 暴力。

式子计算

1. \(\sum a [\text{binary}\_ \text{op}] b\) 可以逐位考虑答案。

杂项

1. 仔细检查 ez 题边界条件：越界，0，爆 ll。

2. 要证明一个数组中所有等于某个值的数，可以考虑让它既小于等于又大于等于这个值的数的并集。比如统计一个序列等于 \(3\) 的个数，考虑 \(\ge 3\) 和 \(\le 3\) 的并集。可以用于简化问题。e.g. prob。多用于计数。

3. 统计一个序列中连续子区间的答案，可以考虑固定左端点统计右端点 / 固定右端点统计左端点，然后通过组合统计。

4. 序列要求交替满足条件：奇偶性分类。

5. \(\sum \lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\) -> 数论分块，\(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\) -> 有可能是根号分治，\(i \le B\)，记录 \(i\)，\(i \ge b\)，记录 \(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\) 的结果。

6. LIS：LIS 方案，填数用两种方法：按下标填，按值域填。