【学习笔记：计算几何基础1】 Convex Hull
Ahead
10.5.2018 - 10.6 2018
笔记摘自邓俊辉教授的MOOC 链接放在最后给= =
如果你没时间看视频就看文章，不然直接看视频好一点
First
计算几何的学习，凸包问题做引子。
凸包??（定义）
百度百科的定义：（不重要）
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的凸组合来构造.
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边形，它能包含点集中所有的点。
下图就是一个凸包，不过概念大概理解一下就可以了
Attention！
当点变化时，凸包上的极点（定义后面加，就是线上的点）可能增加可能减少
Second
先看下面一个例子
混合颜料
艺术家会混合颜料
由于计算机的颜色由RGB（这个不用解释吧？ ） ，这里定义向量 C = （R,G）为颜色
例如 X = （10%，35%），Y = （16%，20%） 都是
那么如果用这两种颜色，我们能否调出我们需要的颜色？
例如 U = （12%，30%） 可以用 2份的X，一份的Y
即 U = 2X+Y
那么对于 V = （13%，22%） 是否可以？ 都那么问了肯定是不行了
那么我们引入第三种颜色 Z = （7%，15%）
然后算一下可以发现是有解的 V = X+3Y+Z
那么我们能否找到一种方法，或者说，和如何用计算几何去操作呢？
Transform
对此，我们可以建立一个二维的欧式空间，不妨命名为颜色空间
同时设横轴为R比例，纵轴为G比例
讲以上的向量画在图中大概长这样
那么可以看见的是U点位于XY的线段上，V在XYZ所在的三角形内
如果向量还ok的话，可以看出U位于三等分点上，V对X,Y,Z的距离是3：3：1
结论
所以如果一个颜色能被调出来，那么这个颜色的向量一定处于所有拥有向量的多边形内。
证明什么的太难写了，向量代一下就ok了
那么可以发现的是，这个多边形就是一个闭包.（这个联系两幅图就能看出来）
Third
之前的都是引入，那么核心的问题是如何去构造凸包
概念
极点（Extremity Point）：位于凸包的边上的点，即最终构成凸包的点 （EP表示）
特性： 对于极点而言，我们总能找到一条直线（可能多条），使得剩余的点都在直线的同一侧 且对于非极点一定不具有这样的性质 （即充要）
算法1 (EP)
根据调颜色的例子，我们去判断某个点是否落在一个三角形内，如果有，那么一定不是极点，否则一定是（类比一下）
所以我们也就是需要进行是否在三角形内的测试（In Triangle test）
伪代码
初始化左右点为极点
枚举三角形的三个点（p1,p2,p3）
如果{p1，p2，p3，s} 在 In Triangle test 的返回值为真
那么 s 不为极点
代码
for(int s=1;s<=n;++s) S[s].extreme = true;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=i+1;j<=n;++i)
for(int k=j+1;k<=n;++k)
for(int s=1;s<=n;++s)
{
if(s==i || s==j || s==k || !S[s].extreme) continue;
if(InTriangle(S[i],S[j],S[k],S[s])) S[s].extreme=false;
}
显然时间复杂度O（n^4） 很爆炸的效率
补坑1
In Triangle text 怎么写？
当然数学做肯定的是可以（但是精度误差什么的，指不定就WA了）
然而有一个更为巧妙的
画图可以发现 如果一个点位于三角形的内部，那么对于ccw(逆时针)遍历有向直线，该点总是落在左边 如果cw遍历 一定都落在右边
伪代码
如果（i，j，s）(j,k,s),(k,i,s)的To-Left测试的真假性一致
返回真
否则
返回假
代码
bool InTriangle(Point i,Point j,Point k,Point s)
{
bool a = ToLeft(i,j,s);
bool b = ToLeft(j,k,s);
bool c = ToLeft(k,i,s);
return ( a==b) && （b==c）
}
所以这里又需要引进另一个测试 To-Left Text
在左边的测试
补坑2
To-Left测试 ？？
这里牵扯到一个叉积的做法，这个牵扯到一系列，直接百度百科吧
这里直接结论化了 （还有行列式？？ 似乎没什么用）
其实就是用叉积求面积 (左拐叉积大于0，右拐叉积小于0)
也就是2*s = a X b（a为边向量 b为起点到判定点s）
代码
int Area(Point a,Point b,Point c)
{
return a.x * b.y - a.y * b.x + b.x * c.y - b.y * c.x + c.x * a.y - c.y * a.x;
}
bool ToLeft(Point a,Point b,Point c)
{
return Area(a,b,c) > 0;
}
这种做法能避免精度问题
有点多了，开个新帖子.
代码可能有错= =（应该不会吧）
直接敲上去的
计算几何看这里=TAT
