浅谈RMQ问题

RMQ:question

有一个长度为$N$的数组，数组中的数是无序的（$1<=n<=5\ast 10^5$）。
给定$Q$次查询，每次给出一个区间$[L,R]$，问区间最值是多少。
$Q$为$3\times 10^6$

浅浅地分析下？

我们拿到题的第一感觉？

• 肯定是暴力枚举
• 不做任何处理，直接查询（这谁都会吧）
• $O(Q\ast n^2)$,时间难以承受

思考下，暴力储存？

• 因为这是区间问题，考虑区间dp？
• $F[i][j]表示区间[i,j]内的最值$
• 处理：$O(n^3)$，查询:$O(1)$,比上个好了点，但是还是无法承受。

进一步思考？

• 我们上一个方案的状态转移方程是什么？
• $F[i][j]=max(f[i][k],f[k+1][j])(i<=k<=j)不需要循环枚举$
• 所以，我们真的需要那么多空间吗？
• 于是，我们可以将$F$数组的含义变为
• $F[i][k]表示区间[i,i+k-1]的最值$
• 这样依旧会爆，但是这是我们迈出成功地一大步

最终？

• 这个时候，就有一个很厉害的东西： ST表
• 这个是什么呢？请看
• $F[i][j]表示区间[i,i+2^j-1]内的最值$
• 这时候，空间就不会爆！
• 转移方程::$F[i][j]=max(F[i][j-1],F[i][i+(1<<(j-1))]$
• $<<是左移，1<<j=2^j$,其实$<<$的优先级比$-$低,所以最里面的括号可以删掉
• 最后是:$F[i][i]=max(F[i][j-1],F[i][i+(1<<j-1)]$
• 为什么？
• 我举个例子：$F[1][3]$表示的是$区间[1,1+2^3]=[1,8]，$他就可以从$区间F[1,4]和F[5,8]$表示
• 怎么查询？
• 我们可以考虑快速幂，比如$10$二进制表示$1010$,所以比较大小$2,8$的区间即可

终极优化

• 如果区间大小是31
• 那么我们得连续比较$16,8,4,2,1$的区间
• 复杂度可以接受，但是我们可以继续优化时间复杂度
• 
• 这张图片告诉我们什么道理？
• 比较区间是可以重叠的！！
• 那么我们这需要求出${lo{g}_2}^n$即可
• 比如$31$,我们可以把它拆成$[1,16][15,31]$来比较，如果预先处理好${lo{g}_2}^n$我们就可以以$O(1)$的复杂度查询！

怎么预先处理${lo{g}_2}^n$

• 有个代码可以比$cmath$的函数快很多

$Code:$

for(int i=1;i<=n;++i)
	lg[i]=lg[i-1]+((1<<lg[i-1])==i); 

• 但是这里有个$BUG$！如果你要求${lo{g}_2}^n$,你需要减一

$Code$(我自己写的模板)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n,m,dp[2][2000005],lo[2000005],a[2000005];
void log_2(){//求log2 n 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		lo[i]+=lo[i-1]+((1<<lo[i-1])==i);
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	log_2();
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)
		for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
			dp[i][j]=1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[0][i]=a[i];
	//初始化rmq，区间dp 
	for(int i=1;(1<<i)<=n;i++)
		for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
			dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+(1<<i-1)]);
	//查询 
	cout<<0<<endl;//题目所需QWQ 
	for(int w=2;w<=n;w++){
		int j=w-m,i=w-1;
		if(j<=0) j=1;
		int k=lo[i-j+1]-1;//注意减一
		cout<<min(dp[k][j],dp[k][i-(1<<k)+1])<<endl;
	}
	return 0;
}

注明

我这个代码是基于P1440 求m区间内的最小值的80分代码，因为本蒟蒻太蒟了，不会滚动数组，大家可以拿这道题练练手

关于这道题：
（老师提醒）

因为这题的区间长度只有m，所以可以用滚动数组，减小空间复杂度，不MLE

(自己提醒)

不要用memset！不要用memset！用了直接全部MLE，因为