算法第四章作业

贪心策略：我把所有区间按右端点从小到大排序，然后从第一个区间开始，每次选当前区间的右端点作为一个点，然后跳过所有包含这个点的区间，继续处理剩下的第一个不包含这个点的区间，直到所有区间都被覆盖。

证明贪心选择性质：就是要证明存在一个最优解包含我们第一次选的点（即右端点最小的区间的右端点）。设排序后第一个区间是I1，右端点是r1。假设有一个最优解S，如果S已经包含了r1，那就直接成立了。如果S没有包含r1，那么S中一定有一个点p在I1里面（因为I1必须被覆盖），而且p <= r1。那么我们可以用r1替换掉p，得到一个新的解S'。因为所有包含p的区间，它们的左端点<= p，右端点>= r1（因为r1是最小的右端点），所以这些区间也一定包含r1。这样S'还是能覆盖所有区间，并且点数不变，所以S'也是一个最优解，而且包含了r1。这就证明了贪心选择性质。

时间复杂度：代码里用了冒泡排序，所以排序是O(n^{2)，后面遍历一遍是O(n)，所以总的是O(n}2)。如果用快排可以降到O(n log n)。

对贪心算法的理解：贪心就是每一步都选当前局部最优的，希望这样能得到全局最优。但不是所有问题都能这么干，必须满足贪心选择性质（局部最优能导致全局最优）和最优子结构（问题的最优解包含子问题的最优解）。