第三章作业

一 数字三角形问题的动态规划解法

1 问题分析

有个数字三角形，n行数字，从最上面走到最下面，每一步只能往左下或者右下走。要找一条路径，让路径上的数字加起来最大。

最优解就是那条和最大的路径，最优值就是那个最大的和。

这个问题可以拆成小问题，走到最下面某个点的最大路径，取决于走到它上面那些点的最大路径。

2 递推公式

用dp[i][j]表示从顶点走到第i行第j个位置的最大和。

一般情况：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]

开头的时候：dp[0][0] = triangle[0][0]

边界情况：

· 最左边的点（j=0）：只能从右上过来，dp[i][0] = dp[i-1][0] + triangle[i][0]
· 最右边的点（j=i）：只能从左上过来，dp[i][i] = dp[i-1][i-1] + triangle[i][i]

3 怎么算

搞个二维表dp，n行n列。

从上往下算，每一行从左往右算。

最后看看最下面一行哪个数最大，就是我们要的答案。

4 复杂度

时间O(n^{2)，空间O(n}2)

二 对动态规划的理解

动态规划核心思想就是把大问题拆成小问题，记住小问题的答案，避免重复计算。

它教我们系统性地分解问题，通过存中间结果来高效求解。关键是找到那个状态定义和递推关系。

其实就是用空间换时间，把指数复杂度降到多项式复杂度。