2.diff差分【模板】

• [[#差分数组|差分数组]]
  • [[#差分数组#三个数组的关系|三个数组的关系]]
• [[#题目描述|题目描述]]
• [[#输入描述|输入描述]]
• [[#输出描述|输出描述]]
• [[#输入样例1|输入样例1]]
• [[#输出样例1|输出样例1]]

差分数组

• 如下叫做差分数组

\[d_{i} = a_{i} - a_{i-1} \]

• 又有

\[\sum_{j=1}^{i} {d_{j}} = d_{1}+d_2+\dots+d_i \]

• 而上述式子可以写作

\[d_{1}+d_2+\dots+d_{i}= （a_1-a_{0}）+（a_2-a_1）+\dots+(a_{i-1}-a_{i-2})+(a_i-a_{i-1}) \]

• 又因为 \(a_0=0\) 于是上式（左侧为一个前缀和数组）

\[\sum_{j=1}^{i} {d_{j}}=a_i \]

• 
• 差分数组可以实现后缀区间的修改，是静态的修改（修改完成之后进行询问，不可以边询问边修改）
• 如果对 \(d_2\) 增加了 \(x\) ，那么 \(a_{2}、a_{3}、a_4\) 以后都会增加 \(x\) ，那么当在 \(d_4\) 处减少 x 后，就抵消了从 \(d_4\) 开始往后的修改，做到了只在 \(a_{2}、a_3\) 两个位置的修改（增加x）
• 

三个数组的关系

• 

• 题目书写模板

• 读入数组 => 求出差分数组 => 修改差分数组 => 更新原数组 => 求出前缀数组 => 打印结果

• 

题

题目描述

给定一个长度为n的数组a，和两个整数p,q。

先进行p次区间加操作：将区间[l,r]的数字都加上�x。

再进行q次区间查询操作：求出[l,r]的数字之和。

对于每次区间查询操作，输出结果。

输入描述

第一行三个整数 n,p,q。(1≤n≤10^5,0≤p≤105,0≤10^5≤q)

第二行 n 个整数表示数组 a。(−10^{9≤a_i​≤10}9)

接下来 p 行，每行三个整数 l,r,x。(1≤l≤r≤n,−10^9≤x≤109)

接下来q行，每行两个整数l,r。(1≤l≤r≤n)

输出描述

对于每次区间查询操作，输出结果。

输入样例1

5 1 2
1 1 1 2 2
1 4 2
1 3
1 5

输出样例1

9
15

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e5 + 9;
// 全局数组自动初始化为0
ll a[N], prefix[N], diff[N];

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
  int n, p, q;
  cin >> n >> p >> q;
  for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
  for (int i = 1; i <= n; ++i) diff[i] = a[i] - a[i - 1];
  while (p--) {
    int l, r;
    ll x;
    cin >> l >> r >> x;
    diff[l] += x, diff[r + 1] -= x;
  }
  // 更新a
  for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = a[i - 1] + diff[i];
  // prefix
  for (int i = 1; i <= n; i++) prefix[i] = prefix[i - 1] + a[i];
  while (q--) {
    int l, r;
    cin >> l >> r;
    cout << prefix[r] - prefix[l - 1] << '\n';
  }
  return 0;
}