数学博客

会写的。

调和级数

\[\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=O(log\ n) \]

\[(\frac{1}{1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+... \]

\[\leq(\frac{1}{1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+... \]

\[=\underbrace{1+1+1+...}_{O(log\ n)个1} \]

\[=O(log\ n) \]

另有

\[\sum^{n}_{i=1}{\frac{1}{i}}=ln\ n + \gamma + \epsilon n \]

其中 \(\gamma\) 为欧拉常数，约等于 \(0.577215664901532860606512090082402431042159335\)。

\(\epsilon n\) 约等于 \(\frac{1}{2n}\)。

用于 \(n\) 非常大且精度要求不高的时候，这时 \(\epsilon n\) 趋近于 \(0\)。

更相减损术的证明

对于 \(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\)，设 \(b \leq a\)。

设 \(c\) 为 \(a\) 和 \(b\) 的公因数，那有 \(k_1\)、\(k_2\) 使得 \(a=k_1c\)，\(b=k_2c\)，那么有 \(a-b=(k_1-k_2)c\)。

所以 \(a\) 和 \(b\) 的公因数一定是 \(b\) 和 \(a-b\) 的公因数。

设 \(c\) 为 \(b\) 和 \(a-b\) 的公因数，那有 \(k_1\)、\(k_2\) 使得 \(b=k_1c\)，\(a-b=k_2c\)，那么有 \(a=(k_1+k_2)c\)。

所以 \(b\) 和 \(a-b\) 的公因数一定是 \(a\) 和 \(b\) 的公因数。

所以 \(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\)。

整除分块复杂度证明

块数 \(=O(\sqrt{n})\)

我们可以证明 \(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\) 最多只有 \(2\sqrt{n}\) 种取值。

对于 \(i\leq\sqrt{n}\) 则最多只有 \(\sqrt{n}\) 种取值。

对于 \(i>\sqrt{n}\) 则\(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor < \sqrt{n}\)，又 \(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\) 为整数，所以也只有 \(\sqrt{n}\) 种取值。

逆元

欧拉函数

定义

\(\varphi(n)\) 为 \(1\) 到 \(n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。

求欧拉函数

\(O(\sqrt{n})\) 求欧拉函数

有

\[\varphi(n)=n\prod{\frac{p_i-1}{p_i}} \]

其中 \(p_i\) 为 \(n\) 的质因数。

证明：

易得与 \(n\) 互质的数一定没有和 \(n\) 相同的质因数。

有 \(n\) 是 \(p_i\) 的倍数，

\(1\) 到 \(n\) 中 \(p_1\) 的倍数占比为 \(\frac{1}{p_i}\)。

对于剩下的数，\(p_{2}\) 的倍数占比也为 \(\frac{1}{p_{2}}\)。

容易看到 \(1\) 到 \(n\) 中，既是 \(p_1\) 的倍数也是 \(p_2\) 的倍数的数占 \(p_1\) 的倍数的 \(\frac{1}{p_{2}}\)。

对于之后的质因数，

可以使用容斥原理证明剩下的数中，\(p_{i}\) 的倍数占比为 \(\frac{1}{p_{i}}\)。

所以归纳出总的式子 \(\varphi(n)=n\prod{\frac{p_i-1}{p_i}}\)。

埃氏筛欧拉函数

线性筛欧拉函数

性质

1

\(\varphi(n)\) 为 \(1\) 到 \(n\) 中与 \(n\) 互质的数的和为 \(\frac{n\varphi(n)}{2}\)。

证明：

因为 \(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\)，

所以与 \(n\) 互质的数的平均数为 \(\frac{n}{2}\)。

特别的，对于 \(x = \frac{n}{2}\)。

要么 \(x\) 不是整数，要么 \(gcd(n,x)=\frac{n}{2}\)

2

若 \(a\bot b\)，则

\[\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) \]

证明：

可由 \(\varphi(n)=n\prod{\frac{p_i-1}{p_i}}\) 带入，

易证结论正确

这也说明 \(\varphi(x)\) 为积性函数。

积性函数：

当一个函数 \(f(x)\) 满足对于所有 \(a\bot b\)，\(f(ab)=f(a)f(b)\)，称 \(f(x)\) 为积性函数。

完全积性函数：

当一个函数 \(f(x)\) 满足对于所有 \(a\)、\(b\)，\(f(ab)=f(a)f(b)\)，称 \(f(x)\) 为完全积性函数。

也有约数个数，约数和也为积性函数。

对于积性函数 \(f(x)\)，且 \(n=\prod {p_i}^{c_i}\)，

有 \(f(n)=\prod{f({p_i}^{c_i})}\)。

3

若 \(p\) 为质数，则

\[\varphi(p^k)=(p-1)p^{k-1} \]

证明：

可由 \(\varphi(n)=n\prod{\frac{p_i-1}{p_i}}\) 带入，

易证结论正确

同时对于 \(p\) 为质数，\(\varphi(p)=p-1\)

4

若 \(p\) 为质数且是 \(x\) 的约数，则

\[\varphi(xp)=\varphi(x)p \]

证明：

可由 \(\varphi(n)=n\prod{\frac{p_i-1}{p_i}}\) 带入，

易证结论正确

5

设 \(p\) 为质数且与 \(x\) 互质，则

\[\varphi(xp)=\varphi(x)(p-1) \]

证明：

可由 \(\varphi(n)=n\prod{\frac{p_i-1}{p_i}}\) 带入，

易证结论正确

6

\[\sum_{d|n}\varphi(d)=n \]

证明：

设 \(f(x)=\sum_{d|x}\varphi(d)\)，

有 \(f(x)\) 是积性函数

证明：

设 \(n\)，\(m\) 互质，

\(f(nm)=\sum_{d|nm}\varphi(d)\)

设 \(d=xy\)，且 \(x|n\), \(y|m\)。

则上式可写成

\(f(nm)=\sum_{x|n}\sum_{y|m}\varphi(xy)\)

\(=\sum_{x|n}\sum_{y|m}(\varphi(x)\varphi(y))\)

\(=\sum_{x|n}{\varphi(x)}\times\sum_{y|m}{\varphi(y)}\)

\(=f(n)f(m)\)

则 \(f(n)=\prod{f({p_i}^{c_i})}\)

\(f({p}^{k})=\sum_{i=0}^{k}\varphi(p^i)\)

\(=1+\sum_{i=1}^{k}(p^i-p^{i-1})\)

\(={p}^{k}\)

所以有

\(f(n)=\prod{{p_i}^{c_i}}=n\)

欧拉定理

对于 \(a\bot n\)，有

\[a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n} \]

证明：
同余类和剩余系

扩展欧拉定理

对于 \(gcd(a,n)=1\)，有

\[a^b\equiv a^{b\ mod\ {\varphi(n)}}\pmod{n} \]

证明：

对于 \(gcd(a,n)\ne 1\) 且 \(b>\varphi(n)\) 有

\[a^b\equiv a^{b\ mod\ {\varphi(n)}+\varphi(n)}\pmod{n} \]

证明：

exgcd

裴蜀定理

对于整数 \(a\)、\(b\)，一定存在整数 \(x\)、\(y\)，使得

\[ax+by=gcd(a,b) \]

证明：

对于 \(b=0\) 时，\(gcd(a,b)=a\)，有解 \(x=1\)，\(y=0\)。

当 \(b\ne 0\) 时，如果 \(bx+(a\ mod\ b)y=gcd(a,b)\) 有整数解，那么 \(ax+by=gcd(a,b)\) 也有解。

证明：

设 \(x'\)、\(y'\) 满足 \(bx'+(a\ mod\ b)y'=gcd(b,a\ mod\ b)\)。

设 \(x=y'\)，\(y=x'-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y'\)，那么 \(x\)、\(y\) 就满足 \(ax+by=gcd(a,b)\)。

再有欧几里得定理，进行递归后终会有 \(b=0\)。

一般形式和通解

对于整数 \(a\)、\(b\)，\(ax+by=c\) 有解的充要条件是 \(gcd(a,b)|c\)。

证明：

这时 \(ax+by=gcd(a,b)\) 有解 \(x_0\)，\(y_0\)。

\(ax+by=c\) 有特解

\[\begin{cases}x=x_0{\frac{c}{gcd(a,b)}}\\y=y_0{\frac{c}{gcd(a,b)}}\end{cases} \]

有通解

\[\begin{cases}x=x_0{\frac{c}{gcd(a,b)}}+k\frac{b}{gcd(a,b)}\\y=y_0{\frac{c}{gcd(a,b)}}-k\frac{a}{gcd(a,b)}\end{cases} \]

中国剩余定理（CRT）

对于线性同余方程组

\[\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\x\equiv a_2\pmod{m_2}\\\vdots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases} \]

其中 \(m_i\) 两两互质。

可以证明一定有解。

设 \(M=\prod_{i=1}^{n}{m_i}\)，\(M_i=\frac{M}{m_i}\)。

设 \(t_i\equiv\frac{1}{M_i}\pmod{m_i}\)

\(x\) 在模 \(M\) 意义下有唯一解

\[x=\left(\sum_{i=1}^{n}{a_i t_i M_i}\right) \operatorname{mod} M \]

通解

\[x=kM+\sum_{i=1}^{n}{a_i t_i M_i} \]

证明：

二项式反演

莫比乌斯反演

定义

\[\mu(n)=\begin{cases}1,n=1\\(-1)^k,n有k个质因数\\0,n有平方因子\end{cases} \]

性质

1

\(\mu\) 为积性函数。

2

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]

证明：

3

狄利克雷卷积：

将

\[h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]

定义为 \(h=f*g\)。

有如下积性函数：

\(I(x)=1\)

\(Id(x)=x\)

\(\epsilon(x)=[x=1]\)

当 \(f*g=\epsilon\)，称 \(f\)、\(g\) 互逆，记作 \(f^{-1}\)。

由 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 得 \(\mu\) 和 \(I\) 互逆。

4

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d)\iff g(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d) \]

\[f(n)=\sum_{n|d}g(d)\iff g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d) \]

证明：

使用时与 \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\) 相似，用 \(\sum_{d|n}\mu(d)\) 代替 \([n=1]\)，之后用数据结构维护。
或类似二项式反演，设易维护的新函数，使用 \(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\iff g(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d)\) 反演。