Laplace变换
拉普拉斯变换
笔记摘录于悍将吴老二的视频关于拉氏变换这个视频就够了
一、引入概念
求解下面的方程会有困难，因为含有 \(x(t)\) 的导数项。
\[\dot{x}(t)+3x(t)=0
\]
但是可以通过 \(Laplace\) 变换来转化为下面的式子，求解 \(x(s)\) 就会变得简单。
\[sx(s)-x(0)+3x(s)=0
\]
原理解释
上面的例子就是将一个时域的信号通过拉氏变换转化为频域的信号，即
\[f(t)\xrightarrow{{\scr{L}}} F(s)\\
\]
其定义为：
\[F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt
\]
我们可以求解出频域的解之后再通过拉普拉斯反变换既可以得到时域下的解
二、常用的拉氏变换对
（1）单位阶跃
已知
\[f(t)=
\begin{cases}
0,&\text{if $t$ < 0}\\
1,&\text{if $t$ $\ge$ 0}
\end{cases}
\]
则
\[F(s)={\scr{L}}\left[f(t)\right]=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt=
\int_0^{+\infty}1\cdot e^{-st}dt
=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}e^{-st}d(-st)
=-\dfrac{1}{s}\left[e^{-st}\right]\bigg|_0^{+\infty}
=\dfrac{1}{s}
\]
（2）斜坡
已知
\[f(t)=t
\]
则
\[\begin{align}
F(s)&={\scr{L}}\left[f(t)\right]\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty}t\cdot e^{-st}dt\\[2ex]
&=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}t\cdot e^{-st}d(-st)\\[2ex]
&=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}td(e^{-st})\\[2ex]
&=-\dfrac{1}{s}\left[t\cdot e^{-st}\bigg|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-st}dt\right]\\[2ex]
&=-\dfrac{1}{s}[-\dfrac{1}{s}]\\[2ex]
&=\dfrac{1}{s^2}\\
\end{align}
\]
（3）加速度
已知
\[f(t)=\dfrac{1}{2}t^2
\]
则
\[\begin{align}
F(s)&={\scr{L}}\left[f(t)\right]\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{2}t^2\cdot e^{-st}dt\\[2ex]
&=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{2}t^2d(e^{-st})\\[2ex]
&=-\dfrac{1}{s}\left[\dfrac{1}{2}t^2\cdot e^{-st}\bigg|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-st}d\left(\dfrac{1}{2}t^2\right)\right]\\[2ex]
&=\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}e^{-st}d\left(\dfrac{1}{2}t^2\right)\\[2ex]
&=\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}e^{-st}td\left(t\right)\\[2ex]
&=\dfrac{1}{s^3}\\
\end{align}
\]
（4）脉冲
已知
\[\delta(t)=
\begin{cases}
\infty,&\text{if $t$ = 0}\\
0,&\text{if $t$ $\neq$ 0}
\end{cases}
\quad且\quad
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1
\]
则
\[\begin{align}
F(s)&={\scr{L}}\left[f(t)\right]\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty}\delta(t) e^{-st}dt\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty}\delta(t)dt\\[2ex]
&=1
\end{align}
\]
（5）总结
| \(f(t)\) | \(\delta(t)\) | \(1(t)\) | \(t\) | \(\dfrac{1}{2}t^2\) | \(e^{-\alpha t}\) | \(sin\omega t\) | \(cos\omega t\) | \(e^{-\alpha t}sin\omega t\) | \(e^{-\alpha t}cos\omega t\) | \(\dfrac{1}{n!}t^ne^{-\alpha t}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F(s)\) | 1 | \(\dfrac{1}{s}\) | \(\dfrac{1}{s^2}\) | \(\dfrac{1}{s^3}\) | \(\dfrac{1}{s+\alpha}\) | \(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\) | \(\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\) | \(\dfrac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\) | \(\dfrac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\) | \(\dfrac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}\) |
三、性质
（1）线性性质
若 \({\scr{L}}\left[f_1(t)\right]\)，\({\scr{L}}\left[f_2(t)\right]\) 则有 \({\scr{L}}\left[f_1(t) \pm f_2(t)\right]=F_1(s) \pm F_2(s)\)；\({\scr{L}}\left[k\cdot f(t)\right]=k\cdot F(s)\)
求解：\({\scr{L}}\left[5+2t\right]\)
技巧：看成是 \({\scr{L}}\left[5\times 1+2\times t\right]\)
（2）位移性质
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 ${\scr{L}}\left[e^{-\alpha t}f(t)\right]= F(s+ \alpha) $
证明：
\[\begin{align}
有 \quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\\[2ex]
则\quad{\scr{L}}\left[e^{-\alpha t}f(t)\right]
&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-\alpha t}\cdot e^{-st}dt\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-(\alpha+s) t}dt\\[2ex]
&= F(s+ \alpha)
\end{align}
\]
求解：\({\scr{L}}\left[t\cdot e^{-2t }\right]\)
技巧：拉氏变换的时候需要将 \(F(s+ 2)\) 看作为一个整体的 \(s\) 带入
（3）延迟性质
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 \({\scr{L}}\left[f(t-\tau)\right] =e^{-s\tau} F(s)\)
证明：
\[\begin{align}
有 \quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\\[2ex]
则\quad
{\scr{L}}\left[f(t-\tau)\right] &=\int_0^{+\infty}f(t-\tau)\cdot e^{-st}dt\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty}f(t-\tau)\cdot e^{-s(t-\tau)}\cdot e^{-s\tau}d(t-\tau)\\[2ex]
&=e^{-s\tau}\int_0^{+\infty}f(t-\tau)\cdot e^{-s(t-\tau)}d(t-\tau)\\[2ex]
&=e^{-s\tau} F(s)
\end{align}
\]
求解：\({\scr{L}}\left[u(t-\tau)\right]\)，其中
\[u(t-\tau)=
\begin{cases}0, &\text{if $t$ < $\tau$}\\1,&\text{if $t$ $\ge $ $\tau$}\end{cases}
\]
技巧：没啥技巧。
四、定理
（1）微分定理
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 ${\scr{L}}\left[f'(t)\right]= sF(s)-f(0) $
证明：
\[\begin{align}
有 \quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\\[2ex]
则\quad
{\scr{L}}\left[f'(t)\right] &=\int_0^{+\infty}f'(t)\cdot e^{-st}dt\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty} e^{-st}df(t)\\[2ex]
&=\left[e^{-st}f(t)\right]\bigg|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\cdot(-s)dt\\[2ex]
&= sF(s)-f(0)
\end{align}
\]
高阶公式
\[\begin{align}
{\scr{L}}\left[f^{(n)}(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f^{(n)}(t)\cdot e^{-st}dt\\[2ex]
&=\int_0^{+\infty} e^{-st}df^{(n-1)}(t)\\[2ex]
&=\left[e^{-st}f^{(n-1)}(t)\right]\bigg|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}f^{(n-1)}(t)e^{-st}\cdot(-s)dt\\[2ex]
&=\cdots\\[2ex]
&= s^nF(s)-s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) -\cdots - s^1f^{(n-2)}(0) - s^0f^{(n-1)}(0)
\end{align}
\]
（2）积分定理
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 ${\scr{L}}\left[\int_0^t f(t)dt\right]= \dfrac{1}{s}F(s) $
证明：
\[\begin{align}
有 \quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]&=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\\[2ex]
则\quad
{\scr{L}}\left[\int_0^t f(t)dt\right] &=\int_0^{+\infty}\left[\int_0^t f(t)dt\right] e^{-st}dt\\[2ex]
&=-\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}\left[\int_0^t f(t)dt\right] de^{-st}\\[2ex]
&=-\dfrac{1}{s}\left[e^{-st}\int_0^t f(t)dt\right]\Bigg|_0^{+\infty}+\dfrac{1}{s}\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)dt \\[2ex]
&= \dfrac{1}{s}F(s)
\end{align}
\]
（3）终值定理
若 \({\scr{L}}\left[f(t)\right]=F(s)\) 则 \(\lim\limits_{t\to0} f(t)=\lim\limits_{s\to 0} sF(s)\)
证明：
\[\begin{alignedat}{5}
&由 定义\quad{\scr{L}}\left[f(t)\right]=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\quad 以及微分定理\quad {\scr{L}}\left[f'(t)\right]= sF(s)-f(0) \\[2ex]
&对微分定理等号两边同时取极限,则\lim\limits_{t\to0} {\scr{L}}\left[f'(t)\right]=\lim\limits_{s\to 0} [sF(s)-f(0)]\\[2ex]
&左边=\lim\limits_{t\to0} {\scr{L}}\left[f'(t)\right]=\lim\limits_{t\to0}{\scr{L}}\left[f'(t)\right] =\lim\limits_{t\to0}\int_0^{+\infty}f'(t)\cdot e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f'(t)\cdot dt=f(t)\bigg|_0^{+\infty}=\lim\limits_{t\to \infty}f(t)-f(0)\\[2ex]
&右边=\lim\limits_{s\to 0}[sF(s)-f(0)]=\lim\limits_{s\to 0}sF(s)-f(0)\\[2ex]
&\because左边=右边\\[2ex]
&\therefore\lim\limits_{t\to \infty}f(t)=\lim\limits_{s\to 0}sF(s)
\end{alignedat}
\]
五、拉氏反变换
将一个频域的信号通过拉氏变换转化为时域的信号，即：
\[F(s)\xrightarrow{{\scr{L^{-1}}}} f(t)\\
\]
六、应用：求解线性微分方程
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